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Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Cerchio (disambigua).

Disambiguazione – Se stai cercando cerchio inteso come linea circolare, vedi Circonferenza.

In geometria piana il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza^[1] ed è costituito dall'insieme infinito dei punti che distano da un punto dato, detto centro, non più di una distanza fissata detta raggio.
In un sistema di assi un generico cerchio di centro (a;b){displaystyle (a;b)} e raggio r{displaystyle r} è rappresentato dall'insieme di punti che soddisfano la seguente condizione:

D¯={(x,y)∈R2:(x−a)2+(y−b)2≤r2}.{displaystyle {overline {D}}={(x,y)in {mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}leq r^{2}}.}

Esso può essere immaginato come un poligono regolare con un numero di lati infinito, o meglio come il limite di una successione di poligoni regolari ad n{displaystyle n} lati per n{displaystyle n} che tende ad infinito. Il cerchio è una figura convessa.

Un segmento avente gli estremi sulla circonferenza è detto corda; ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione passa per il centro, essa si chiama diametro e i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, uno "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.

La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta come limite di quella del poligono regolare, ovvero come lunghezza della circonferenza per raggio diviso 2{displaystyle 2}:

Area=circonferenza×raggio2=πr2.{displaystyle mathrm {Area} ={frac {mathrm {circonferenza} times mathrm {raggio} }{2}}=pi r^{2}.}

La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato avente stessa area.

Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

Il cerchio viene detto inscritto in un poligono quando la sua circonferenza è tangente ad ogni lato di quest'ultimo, e circoscritto quando i vertici di un poligono stanno sulla circonferenza.

L'area |

Integrazione con le coordinate polari |

Il valore dell'area del cerchio può venir visto come il valore dell'integrale doppio della funzione f(x,y)=1{displaystyle f(x,y)=1} su un insieme coincidente con il cerchio. In formule si ha ∬cerchio1dxdy.{displaystyle iint _{cerchio}1dxdy.}. Utilizzando il cambio di coordinate da cartesiane a polari si ottiene ∫02π∫0Rρdρdθ{displaystyle int _{0}^{2pi }int _{0}^{R}rho drho dtheta }, dove ρ{displaystyle rho } e θ{displaystyle theta } sono le variabili polari. Al posto della funzione integranda f(x,y)=1{displaystyle f(x,y)=1} abbiamo f(ρ,θ)=ρ{displaystyle f(rho ,theta )=rho } per via del cambio base. A questo punto l'integrale doppio si può scomporre nel prodotto di due integrali, in quanto le variabili sono separabili. Si ottiene

∫02πdθ⋅∫0Rρdρ=2π⋅12R2=πR2.{displaystyle int _{0}^{2pi }dtheta cdot int _{0}^{R}rho drho =2pi cdot {frac {1}{2}}R^{2}=pi R^{2}.}

Integrazione "a cipolla" |

Un metodo di integrazione per calcolare l'area del cerchio

Un primo approccio, tramite gli integrali, al calcolo dell'area del cerchio può essere fatto pensando che questa superficie è data dalla somma progressiva di infiniti cerchi concentrici che hanno come valore massimo la circonferenza e come minimo il centro del cerchio. In pratica è come se sommassimo tra di loro infiniti anelli, aventi ognuno spessore infinitesimo. Da questa rappresentazione comprendiamo come il nome a cipolla derivi proprio dalla stratificazione del cerchio, come quella di una cipolla, anche se in due dimensioni. Possiamo dunque chiamare t{displaystyle t} il raggio del cerchio a cui corrisponde ogni singola circonferenza, la cui lunghezza è 2πt{displaystyle 2pi t} (notiamo che in questa dimostrazione si dà per assunto questo dato). Quindi possiamo integrare (integrazione definita) 2πtdt{displaystyle 2pi t,dt}, cioè la funzione che ci dà le diverse circonferenze (separate dal fattore infinitesimo dt{displaystyle dt}), tra il valore minimo e massimo dei loro raggi, 0{displaystyle 0} e r{displaystyle r}.

Area(r)=∫0r2πtdt=[(2π)t22]t=0r=πr2.{displaystyle mathrm {Area} (r)=int _{0}^{r}2pi t,dt=left[(2pi ){frac {t^{2}}{2}}right]_{t=0}^{r}=pi r^{2}.}

Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano |

Per procedere al calcolo dell'area di un cerchio attraverso un secondo metodo consideriamo innanzitutto una circonferenza con centro nell'origine degli assi; questo ci permette infatti di semplificare il caso generico di una circonferenza traslata rispetto all'origine, dato che la traslazione non modifica l'area.

L'equazione di una circonferenza di generico raggio r{displaystyle r} e centro nell'origine degli assi è:

x2+y2=r2.{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}

Come sappiamo dalla definizione la suddetta formula non è una funzione, in quanto associa ad alcuni punti più di un punto. Per risolvere questo inconveniente e integrare la funzione è sufficiente, dopo averla esplicitata rispetto alle ordinate, y=±r2−x2{displaystyle y=pm {sqrt {r^{2}-x^{2}}}}, prenderne solo le immagini non negative.

Avremo quindi che l'equazione della funzione che ci descrive la semicirconferenza con centro nell'origine di generico raggio r{displaystyle r} è

y=r2−x2.{displaystyle y={sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

Per conoscere quindi l'area del cerchio completo basta calcolare l'area sottesa alla funzione, tra −r{displaystyle -r} e r{displaystyle r}:

∫−rrr2−x2dx.{displaystyle int _{-r}^{r}{sqrt {r^{2}-x^{2}}},dx.}

Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale:

∫−rrr2−x2dx{displaystyle int _{-r}^{r}{sqrt {r^{2}-x^{2}}},dx}	=[∫r2−x2]−rr={displaystyle =left[int {sqrt {r^{2}-x^{2}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[12(r2arcsin⁡(xr)+xr2−x2)]−rr={displaystyle =left[{frac {1}{2}}left(r^{2}arcsin left({frac {x}{r}}right)+x{sqrt {r^{2}-x^{2}}}right)right]_{-r}^{r}=}
	=12r2arcsin⁡(rr)+12rr2−r2−12r2arcsin⁡(−rr)−12(−r)r2−r2={displaystyle ={frac {1}{2}}{{r^{2}}arcsin left({frac {r}{r}}right)}+{frac {1}{2}}{r{sqrt {r^{2}-r^{2}}}}-{frac {1}{2}}{{r^{2}}arcsin left({frac {-r}{r}}right)}-{frac {1}{2}}(-r){sqrt {r^{2}-r^{2}}}=}
	=12r2arcsin⁡(1)+12r0−12r2arcsin⁡(−1)+12r0={displaystyle ={frac {1}{2}}{{r^{2}}arcsin left({1}right)}+{frac {1}{2}}{r{sqrt {0}}}-{frac {1}{2}}{{r^{2}}arcsin left({-1}right)}+{frac {1}{2}}{r{sqrt {0}}}=}
	=12r2π2+0+12r2π2+0={displaystyle ={frac {1}{2}}{r^{2}}{frac {pi }{2}}+0+{frac {1}{2}}{r^{2}}{frac {pi }{2}}+0=}
	=12πr2{displaystyle ={frac {1}{2}}{pi }{r^{2}}}

Per arrivare alla formula finale ricordiamo che fin dal principio stavamo calcolando l'area tra il grafico della semicirconferenza y=r2−x2{displaystyle y={sqrt {r^{2}-x^{2}}}} e l'asse x{displaystyle x}, per cui l'area del cerchio con centro nell'origine sarà il doppio:

2⋅12πr2=πr2,{displaystyle 2cdot {frac {1}{2}}{pi }{r^{2}}={pi }{r^{2}},}

che è proprio la formula usata comunemente.

Dobbiamo notare che in questa dimostrazione diamo per definita la formula dell'arcoseno (per trovare una primitiva della funzione), e quindi buona parte della trigonometria; questo però significa inserire anche nei concetti necessari per usare questo metodo quello di pi greco, che è indissolubilmente legato al concetto di cerchio e alle relazioni tra le sue parti.

Il perimetro del cerchio |

Il perimetro del cerchio si può calcolare con la formula 2πr{displaystyle 2pi r}, cioè due volte il pi greco per il raggio.

Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano |

Il perimetro del cerchio, che si può definire anche come la lunghezza della circonferenza, si può pensare calcolabile grazie all'integrazione della funzione corrispondente alla semicirconferenza, avente centro nell'origine, tra −r{displaystyle -r} e r{displaystyle r}, cioè il raggio. Ovviamente non possiamo utilizzare l'integrale definito, ma ci serve l'integrale che associa ad una funzione la lunghezza della curva che descrive: la formula di questo integrale, data una funzione f(x){displaystyle f(x)} e due punti a{displaystyle a} e b{displaystyle b} è:

∫ab1+(f˙(x))2dx.{displaystyle int _{a}^{b}{sqrt {1+left({dot {f}}(x)right)^{2}}},dx.}

Sappiamo che l'equazione di una circonferenza di generico raggio r{displaystyle r} e centro nell'origine degli assi è:

x2+y2=r2.{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}

Questa, come visto per l'area, va resa una funzione, e per farlo basta dopo averla esplicitata in funzione di y{displaystyle y}, y=±r2−x2{displaystyle y=pm {sqrt {r^{2}-x^{2}}}}, prenderne solo le immagini non negative.

L'equazione della funzione che descrive la semicirconferenza che ci serve sarà allora

y=r2−x2.{displaystyle y={sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

Per calcolare l'integrale ci serve però la derivata prima della funzione stessa, quindi:

y′=−2x2r2−x2=−xr2−x2.{displaystyle y'={frac {-2x}{2{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}}={frac {-x}{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}.}

Adesso possiamo procedere al calcolo dell'integrale della curva tra −r{displaystyle -r} e r{displaystyle r}. Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo come prima al teorema di Torricelli-Barrow:

∫−rr1+(−xr2−x2)2dx{displaystyle int _{-r}^{r}{sqrt {1+left({frac {-x}{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}right)^{2}}},dx}	=[∫ 1+x2r2−x2]−rr={displaystyle =left[int {sqrt {1+{frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[∫ r2−x2+x2r2−x2]−rr={displaystyle =left[int {sqrt {frac {r^{2}-x^{2}+x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[∫ r2r2−x2]−rr={displaystyle =left[int {sqrt {frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[∫ rr2−x2]−rr={displaystyle =left[int {frac {r}{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[∫ rr1−x2r2]−rr={displaystyle =left[int {frac {r}{r{sqrt {1-{frac {x^{2}}{r^{2}}}}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[∫ 11−x2r2]−rr={displaystyle =left[int {frac {1}{sqrt {1-{frac {x^{2}}{r^{2}}}}}}right]_{-r}^{r}=}
	=[rarcsin⁡(xr)]−rr={displaystyle =left[rarcsin left({frac {x}{r}}right)right]_{-r}^{r}=}
	=rarcsin⁡(rr)−rarcsin⁡(−rr)={displaystyle =rarcsin left({frac {r}{r}}right)-rarcsin left({frac {-r}{r}}right)=}
	=rarcsin⁡(1)−rarcsin⁡(−1)={displaystyle =rarcsin left(1right)-rarcsin left(-1right)=}
	=rπ2+rπ2={displaystyle =r{frac {pi }{2}}+r{frac {pi }{2}}=}
	=2⋅πr2=πr{displaystyle =2cdot {frac {pi r}{2}}={pi r}}

Ma dal momento che stavamo calcolando la lunghezza di una semicirconferenza, allora il perimetro del cerchio sarà pari al doppio del valore trovato, cioè:

2⋅πr=2πr.{displaystyle 2cdot pi r=2pi r.}

Ed è esattamente il valore che viene utilizzato solitamente.

Come per il calcolo dell'area, dobbiamo ricordare che per la dimostrazione è essenziale conoscere la trigonometria, che implica di fatto la conoscenza del valore di pi greco e il suo legame con le componenti di un cerchio. In pratica quindi quella che abbiamo fatto più che una dimostrazione è una riprova della formula che lega il raggio e la lunghezza di una circonferenza qualunque.

Cerchio, letteratura e filosofia |

La figura del cerchio e del circolo è al centro dell'opera di Platone. Leonardo da Vinci preferì invece collocare al centro della natura la figura della spirale. Lo stesso fece Ralph Waldo Emerson, introducendo nel suo saggio sui "Cerchi" la figura di cerchi in espansione come simbolo dell'avanzamento dello spirito umano.

Angoli particolari nel cerchio |

L'angolo alla circonferenza che sottende un diametro dello stesso cerchio è sempre retto

Angolo al centro |

Si definisce 'angolo al centro' l'angolo che ha per vertice il centro della circonferenza e per lati due semirette che intersecano la circonferenza. Il cerchio è quindi diviso in due parti da ogni suo angolo al centro.
La sua ampiezza si calcola con la seguente proporzione:

AB:C=a∘:360∘.{displaystyle AB:C=a^{circ }:360^{circ }.}

Proprietà |

L'angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, quando i vertici dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza sono dalla stessa parte rispetto alla corda individuata dai due punti di intersezione dei lati dei due angoli con la circonferenza. Quando invece il vertice dell'angolo alla circonferenza è dalla parte opposta rispetto al centro, l'angolo alla circonferenza è supplementare della metà dell'angolo al centro, cioè la somma dell'angolo alla circonferenza e la metà dell'angolo al centro è uguale ad un angolo piatto. Di conseguenza, se un angolo alla circonferenza è retto, esso sottende un diametro del cerchio, ovvero il corrispondente angolo al centro è piatto. Da ciò discendono le seguenti proprietà del triangolo rettangolo:

• ogni triangolo rettangolo è inscrivibile in un semicerchio;


• in ogni triangolo rettangolo, l'ipotenusa coincide con un diametro del cerchio circoscritto.

Formulario |

Formule geometriche |

Data una circonferenza, siano r{displaystyle r} il raggio, A{displaystyle A} l'area, d=2r{displaystyle d=2r} il diametro, P{displaystyle P} il perimetro. Allora si ha:

Raggio r=d2=P2π=Aπ;{displaystyle r={frac {d}{2}}={frac {P}{2pi }}={sqrt {frac {A}{pi }}};}

Perimetro P=2πr=dπ=2πA;{displaystyle P=2pi r=dpi =2{sqrt {pi A}};}

Area A=πr2=π4d2=P24π.{displaystyle A=pi r^{2}={frac {pi }{4}}d^{2}={frac {P^{2}}{4pi }}.}

Formule analitiche |

Avendo le coordinate del centro (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} e di un punto sulla circonferenza (xi,yi){displaystyle (x_{i},y_{i})} è possibile determinare l'area

Raggio	(x0−xi)2+(y0−yi)2,{displaystyle {sqrt {(x_{0}-x_{i})^{2}+(y_{0}-y_{i})^{2}}},}
Area	π[(x0−xi)2+(y0−yi)2].{displaystyle pi left[(x_{0}-x_{i})^{2}+(y_{0}-y_{i})^{2}right].}

Date invece le coordinate di tre punti A{displaystyle A}, B{displaystyle B}, C{displaystyle C} qualsiasi sulla circonferenza le coordinate del centro si calcolano come quelle del circumcentro del triangolo^[2]

x0=bx−2a;y0=by−2a,{displaystyle x_{0}={frac {b_{x}}{-2a}};quad y_{0}={frac {b_{y}}{-2a}},}

con

bx=−|xA2+yA2yA1xB2+yB2yB1xC2+yC2yC1|;by=|xA2+yA2xA1xB2+yB2xB1xC2+yC2xC1|;a=|xAyA1xByB1xCyC1|.{displaystyle b_{x}=-{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1\end{vmatrix}};quad b_{y}={begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1\end{vmatrix}};quad a={begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}.}

Note |

Voci correlate |

• Circonferenza


• Quadratura del cerchio


• Settore circolare


• Corona circolare


• Segmento circolare


• Sfera


• Intorno circolare

Altri progetti |

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Collegamenti esterni |

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  Cerchio, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  

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