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In matematica, più precisamente in teoria della probabilità, un processo stocastico (o processo aleatorio) è la versione probabilistica del concetto di sistema dinamico. Un processo aleatorio è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro (in genere il tempo) che gode di determinate proprietà statistiche. In generale è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali X(t){displaystyle X(t)} rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo t{displaystyle t}. In termini più precisi, un processo stocastico si basa su una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei numeri reali (come ad esempio, Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, o spazi funzionali, o successioni di numeri reali). I processi aleatori sono un'estensione del concetto di variabile aleatoria, nel momento in cui viene preso in considerazione anche il parametro tempo.

Descrizione |

Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico, il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni ad un istante t{displaystyle t} otteniamo una variabile aleatoria X(t){displaystyle X(t)} che comprende i diversi valori che il processo può assumere in quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore al centro della "campana" gaussiana all'istante t{displaystyle t}. Quindi per ciascun istante possiamo definire una variabile aleatoria, una gaussiana o altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

Concetti e definizioni |

Si definisce processo stocastico una famiglia di variabili aleatorie {X(t),t∈T⊆R+}{displaystyle {X(t),tin Tsubseteq mathbb {R} _{+}}} dipendenti dal tempo, definite su uno spazio campione Ω{displaystyle {Omega }} e che assumono valori in un insieme definito spazio degli stati del processo. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette funzioni campione o realizzazioni), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

Fissando un istante di tempo t~{displaystyle {tilde {t}}}, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ad una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: X(t~){displaystyle X({tilde {t}})} è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante, quindi, rispetto ad una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la funzione di densità di probabilità congiunta, o, analogamente, la funzione di distribuzione di probabilità congiunta, delle variabili aleatorie {X(t1),X(t2),…,X(tn)}{displaystyle {X(t_{1}),X(t_{2}),ldots ,X(t_{n})}}.

Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme T={ti,i=1,2,…,n}{displaystyle T={t_{i},i=1,2,ldots ,n}}, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

L'insieme dei valori che possono assumere le realizzazioni costituisce il suddetto spazio degli stati del processo e rappresenta le "situazioni" descritte dalle variabili casuali e indicate per esempio con s0,s1,s2,…{displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},ldots }. Tale insieme può essere continuo o discreto: in quest'ultimo caso, che implica la numerabilità degli stati, il processo aleatorio viene definito catena.

Se la variabile casuale è discreta allora si parla di "processo stocastico discreto", se invece è una variabile casuale continua allora si parla di "processo stocastico continuo" (sottinteso "nello spazio degli eventi").

I processi stocastici si distinguono in markoviani e non markoviani a seconda che la legge di probabilità che determina il passaggio da uno stato all'altro (probabilità di transizione) dipenda unicamente dallo stato di partenza (processo markoviano) o anche dagli stati ad esso precedenti (processo non markoviano).

Se la probabilità di transizione dipende dagli stati precedenti ma non dipende esplicitamente dal tempo t, allora si parla di processo stocastico omogeneo.

I processi stocastici ciclostazionari servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.

Esempio introduttivo |

Supponiamo di voler definire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. Possiamo definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali {St,t∈R}{displaystyle {S_{t},tin mathbb {R} }}, dove per ogni valore del tempo t{displaystyle t}, St{displaystyle S_{t}} è la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo t{displaystyle t}. Se definiamo St{displaystyle S_{t}} come la soluzione all'equazione differenziale stocastica

dSt=−μStdt+σdWt,{displaystyle dS_{t}=-mu S_{t}dt+sigma dW_{t},}

dove μ∈R{displaystyle mu in mathbb {R} }, σ∈R>0{displaystyle sigma in mathbb {R} _{>0}} e Wt{displaystyle W_{t}} denota il processo di Wiener, allora (St)t{displaystyle (S_{t})_{t}} definisce il processo di Ornstein-Uhlenbeck.

Bibliografia |

• (EN) Malempati Madhusudana Rao (1995): Stochastic Processes: General Theory, Kluwer, ISBN 0-7923-3725-5
  


• (EN) Kiyoshi Itō (2004): Stochastic Processes, Springer, ISBN 3-540-20482-2
  


• (EN) G. E. Uhlenbeck e L. S. Ornstein, On the theory of Brownian Motion, in Phys. Rev., vol. 36, 1930, pp. 823–841, DOI:10.1103/PhysRev.36.823.
  

Voci correlate |

• Variabile casuale


• Spazio di probabilità


• Processo stazionario


• Ergodicità


• Processo markoviano


• Processo gaussiano


• Processo di Wiener


• Funzione càdlàg

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Processo stocastico, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Processo stocastico, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• (DE) Quantenphysik und Indeterminismus, su philo.at.


• (EN) The problem of indeterminism, su informationphilosopher.com.


• Indeterminismo, su indeterminismo.bravehost.com. URL consultato il 6 novembre 2018 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).

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V · D · M Probabilità
Teoria della probabilità	Evento · Spazio campionario · Indipendenza stocastica · Probabilità condizionata · Teorema di Bayes · Disuguaglianza di Čebyšëv · Disuguaglianza di Markov
Variabili casuali	Misura di probabilità · Funzione di densità di probabilità · Funzione di ripartizione · Funzione caratteristica · Funzione generatrice dei momenti · Convergenza di variabili casuali
Distribuzioni di probabilità univariate	Distribuzioni discrete Uniforme discreta · Binomiale (Bernoulliana) · Degenere · Ipergeometrica · Di Pascal · Geometrica · Poissoniana Distribuzioni continue Uniforme continua · Normale · Esponenziale · Beta · Gamma · t di Student · di Cauchy · Chi Quadrato
Distribuzioni di probabilità multivariate	Multinomiale · Normale multivariata · Wishart · Dirichlet
Processi stocastici	Matrice stocastica · Processo markoviano · Passeggiata aleatoria · Martingala · Moto browniano · Integrale di Itō · Equazione differenziale stocastica
Discipline connesse	Combinatoria · Statistica

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