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In matematica, e in particolare nella teoria della probabilità, una variabile casuale (detta anche variabile aleatoria o variabile stocastica) è una variabile che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio. Ad esempio, il risultato del lancio di un dado bilanciato a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori 1,2,3,4,5,6{displaystyle 1,2,3,4,5,6} e ogni valore ha probabilità 1/6{displaystyle 1/6} di presentarsi.

Il termine aleatorio deriva dal latino alea (gioco di dadi^[1], ricorda il famoso alea iacta est) ed esprime il concetto di rischio calcolato. La denominazione alternativa stocastico è stata introdotta da Bruno De Finetti^[2]. Il termine casuale deriva dal latino casualis.

Definizione |

Più formalmente, dato uno spazio di probabilità (Ω,F,ν){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},nu )} (dove Ω{displaystyle {Omega }} è un insieme detto spazio campionario o insieme degli eventi, F{displaystyle {mathcal {F}}} è una sigma-algebra su Ω{displaystyle {Omega }} e ν{displaystyle nu } è una misura di probabilità) e dato uno spazio misurabile (E,E){displaystyle (E,{mathcal {E}})}, una (E,E){displaystyle (E,{mathcal {E}})}-variabile aleatoria è una funzione misurabile X:Ω→E{displaystyle Xcolon Omega to E} dallo spazio campionario ad E{displaystyle E}.

In questa definizione si intende che una funzione X{displaystyle X} è misurabile se per ogni A∈E{displaystyle Ain {mathcal {E}}} si ha che X−1(A)∈F{displaystyle X^{-1}(A)in {mathcal {F}}}. Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita da Lindgren (1976):

una funzione X{displaystyle X} definita sullo spazio campionario Ω{displaystyle {Omega }} si dice misurabile rispetto al campo di Borel B{displaystyle {mathcal {B}}} se e solo se l'evento {ω∈Ω:X(ω)≤λ}{displaystyle {omega in Omega :X(omega )leq lambda }} appartiene a B{displaystyle {mathcal {B}}} per ogni λ{displaystyle {lambda }}.

Se E{displaystyle E} è uno spazio topologico e E{displaystyle {mathcal {E}}} è la sigma-algebra di Borel allora X{displaystyle X} è detta anche E{displaystyle E}-variabile aleatoria. Inoltre se E=Rn{displaystyle E=mathbb {R} ^{n}} allora X{displaystyle X} è detta semplicemente variabile aleatoria.

In altre parole una variabile aleatoria X{displaystyle X} è un modo per indurre una misura di probabilità sullo spazio misurabile di arrivo E{displaystyle E} a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi Ω{displaystyle Omega }.

• Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in R{displaystyle mathbb {R} }) si dicono semplici o univariate.


• Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, k{displaystyle k}-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (dove t sta solitamente per tempo) vengono
considerate processi stocastici.

Distribuzione di probabilità |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Misura di probabilità.

La misura di probabilità indotta sullo spazio misurabile di arrivo (E,E){displaystyle (E,{mathcal {E}})} da una variabile aleatoria X{displaystyle X}, a partire dalla misura di probabilità ν{displaystyle nu } su (Ω,F){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}})}, è detta la distribuzione, o legge, di probabilità, di X{displaystyle X}, è indicata con PX{displaystyle P_{X}} ed è definita nel seguente modo

PX(A):=ν(X−1(A)),{displaystyle P_{X}(A):=nu (X^{-1}(A)),}

per ogni A∈E{displaystyle Ain {mathcal {E}}}. Essa è ben definita proprio perché X−1(A)∈F{displaystyle X^{-1}(A)in {mathcal {F}}} per ogni A∈E{displaystyle Ain {mathcal {E}}}. Quando la variabile aleatoria è chiara dal contesto spesso si omette il pedice X{displaystyle X}. Per brevità, invece di scrivere ν(X−1(A)){displaystyle nu (X^{-1}(A))} o ν({ω∈Ω:X(ω)=x per ogni x∈A}){displaystyle nu ({omega in Omega :X(omega )=x{text{ per ogni }}xin A})} spesso si usa la notazione

PX(A)=P(X∈A).{displaystyle P_{X}(A)=P(Xin A).}

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale X{displaystyle X} è individuata univocamente dalla sua funzione di ripartizione, definita come F(x)=P(X≤ x){displaystyle F(x)=P(Xleq x)}. Inoltre:

• se la variabile casuale X{displaystyle X} è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o supporto di X{displaystyle X}) è finito o numerabile, è definita anche la funzione di massa (o funzione massa di probabilità o densità discreta), ossia la funzione di probabilità discreta

p(x)=P(X=x){displaystyle p(x)=P(X=x)}

• se la variabile casuale X{displaystyle X} è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, è definita anche la funzione di densità di probabilità, cioè la funzione f{displaystyle f} non negativa tale per cui

P(X∈A)=∫Af(x)dx{displaystyle P(Xin A)=int _{A}f(x)dx}

Descrivere in termini probabilistici un fenomeno aleatorio nel tempo, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come il valore atteso e la varianza.

Storia |

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica |

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue):
Esempi del primo tipo:

• variabile casuale uniforme discreta


• 
  variabile casuale bernoulliana, caso particolare della Binomiale


• variabile casuale binomiale


• 
  variabile casuale poissoniana detta pure legge degli eventi rari
  


• 
  variabile casuale geometrica, caso particolare della distribuzione di Pascal
  


• variabile casuale ipergeometrica


• variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

• 
  variabile casuale normale o gaussiana


• 
  variabile casuale Gamma o Erlanghiana


• variabile casuale t di Student


• variabile casuale di Fisher-Snedecor


• 
  variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma


• 
  variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma


• variabile casuale Beta


• 
  variabile casuale rettangolare o uniforme continua


• variabile casuale di Cauchy

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresentazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Note |

Bibliografia |

• Remo Cacciafesta, Lezioni di calcolo delle probabilità, Roma, Veschi, 1983.


• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.


• (EN) Bert Lawrence Fristedt Gray, A modern approach to probability theory, Boston, Birkhäuser, 1996, ISBN 3-7643-3807-5.


• (EN) Olav Kallenberg, Random Measures, 4ª ed., Berlin, Akademie Verlag, 1986, ISBN 0-12-394960-2, MR MR0854102.


• (EN) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 2ª ed., Berlin, Springer Verlag, 2001, ISBN 0-387-95313-2.


• (EN) Athanasios Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 9ª ed., Tokyo, McGraw–Hill, 1965, ISBN 0-07-119981-0.

Voci correlate |

• Mistura di distribuzioni


• Variabile casuale standardizzata


• Variabile casuale multivariata


• Misura di probabilità


• Processo stocastico


• Winsorizzazione

Altri progetti |

• 
  Wikiversità contiene lezioni su variabile casuale
  


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su variabile casuale
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Variabile casuale, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Variabile casuale, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  

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V · D · M Probabilità
Teoria della probabilità	Evento · Spazio campionario · Indipendenza stocastica · Probabilità condizionata · Teorema di Bayes · Disuguaglianza di Čebyšëv · Disuguaglianza di Markov
Variabili casuali	Misura di probabilità · Funzione di densità di probabilità · Funzione di ripartizione · Funzione caratteristica · Funzione generatrice dei momenti · Convergenza di variabili casuali
Distribuzioni di probabilità univariate	Distribuzioni discrete Uniforme discreta · Binomiale (Bernoulliana) · Degenere · Ipergeometrica · Di Pascal · Geometrica · Poissoniana Distribuzioni continue Uniforme continua · Normale · Esponenziale · Beta · Gamma · t di Student · di Cauchy · Chi Quadrato
Distribuzioni di probabilità multivariate	Multinomiale · Normale multivariata · Wishart · Dirichlet
Processi stocastici	Matrice stocastica · Processo markoviano · Passeggiata aleatoria · Martingala · Moto browniano · Integrale di Itō · Equazione differenziale stocastica
Discipline connesse	Combinatoria · Statistica

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