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In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato |

Si supponga che u{displaystyle u} e v{displaystyle v} siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

(p1(x)u′)′+q1(x)u=0{displaystyle (p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0}

e:

(p2(x)v′)′+q2(x)v=0{displaystyle (p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0}

Allora, per ogni x{displaystyle x} tale che v(x)≠0{displaystyle v(x)neq 0}, vale la seguente identità:

(uv(p1u′v−p2uv′))′=(q2−q1)u2+(p1−p2)u′2+p2(u′−v′uv)2{displaystyle left({frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')right)'=left(q_{2}-q_{1}right)u^{2}+left(p_{1}-p_{2}right)u'^{2}+p_{2}left(u'-v'{frac {u}{v}}right)^{2}}

Dimostrazione |

Basta svolgere i calcoli:

(uv(p1u′v−p2uv′))′=p1u′2−p2u′vuv′−p1uv′u′v+p2u2v′2v2+uv(p1u′)′v+p1uu′v′v−uv(p2v′)′u+p2uv′u′v=p1u′2−p2u′2+p2u′2−2p2uvu′v′+p2u2v2v′2+uv(q1u)v−uv(q2v)u=(p1−p2)u′2+p2(u′−v′uv)2+(q2−q1)u2{displaystyle {begin{aligned}left({frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')right)'&=p_{1}u'^{2}-p_{2}{frac {u'}{v}}uv'-p_{1}{frac {uv'u'}{v}}+p_{2}{frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+{frac {u}{v}}(p_{1}u')'v+p_{1}{frac {uu'v'}{v}}-{frac {u}{v}}(p_{2}v')'u+p_{2}{frac {uv'u'}{v}}\&=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}{frac {u}{v}}u'v'+p_{2}{frac {u^{2}}{v^{2}}}v'^{2}+{frac {u}{v}}(q_{1}u)v-{frac {u}{v}}(q_{2}v)u\&=left(p_{1}-p_{2}right)u'^{2}+p_{2}left(u'-v'{frac {u}{v}}right)^{2}+left(q_{2}-q_{1}right)u^{2}end{aligned}}}

Bibliografia |

• Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.


• (EN) Charles A. Swanson, Picone's Identity, in Rendiconti di Matematica, vol. 8, nº 2, 1975, pp. 373-397.
  

Voci correlate |

• Operatore autoaggiunto


• Teorema del confronto di Sturm-Picone

Collegamenti esterni |

• Ondřej Došlý The Picone identity for a class of partial differential equations (PDF), su dml.cz. URL consultato il gennaio 2016.
  


• W. Kratz e A. Peyerimhoff, A Treatment of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems via Picone's Identity in Analysis. Volume 5, Issue 1-2, Pages 97–152 (giugno 1985) (XML), su degruyter.com. URL consultato il gennaio 2016.
  

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