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L'idrostatica (anche detta fluidostatica o statica dei fluidi) è una branca della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in stato di quiete, cioè ogni corpo continuo per cui sia valida la legge di Pascal con velocità media costante nel tempo e vettorialmente omogenea nello spazio.

Conservazione della densità |

.mw-parser-output .vedi-anche{border:1px solid #CCC;font-size:95%;margin-bottom:.5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:first-child{padding:0 .5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:last-child{width:100%}

Lo stesso argomento in dettaglio: legge della conservazione della massa (fisica).

La conservazione della quantità di moto globale in un volume finito in cui il campo di velocità sia conservativo porta alla conclusione che in ogni punto l'integrale di volume della variazione temporale della densità sia nullo sia in un riferimento euleriano che in un riferimento lagrangiano:

∫Vd⁡ρd⁡td⁡r3=∫V∂ρ∂t=0{displaystyle int _{V}{frac {operatorname {d} rho }{operatorname {d} t}}operatorname {d} r^{3}=int _{V}{frac {partial rho }{partial t}}=0}

Cioè nei punti di continuità spaziale della densità, essa risulta anche costante nel tempo in entrambi i tipi di riferimento:

d⁡ρd⁡t=∂ρ∂t=0{displaystyle {frac {operatorname {d} rho }{operatorname {d} t}}={frac {partial rho }{partial t}}=0}

Legge di Pascal |

Lo stesso argomento in dettaglio: Legge di Pascal.

La legge di Pascal è l'equazione costitutiva dei fluidi statici, la più semplice in assoluto se si esclude il caso banale di corpo rigido, per i quali lo sforzo è isotropo e perciò rappresentabile come uno scalare definito pressione sempre positivo^[1]:

σ¯¯=p1¯¯{displaystyle {bar {bar {sigma }}}=p{bar {bar {1}}}}

Equazione fondamentale |

Lo stesso argomento in dettaglio: conservazione della quantità di moto.

Forma globale |

L'equazione fondamentale dell'idrostatica esprime la conservazione della quantità di moto globale in un volume finito in cui sia valida la legge di Pascal, quindi ammette la discontinuità integrabile degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione:

∫V(t)ρg¯d⁡r3+∫V(t)∇pd⁡r3=0{displaystyle int _{V(t)}rho {bar {g}},operatorname {d} r^{3}+int _{V(t)}nabla poperatorname {d} r^{3}=0}

ovvero, applicando il teorema della divergenza:

∫V(t)ρg¯d⁡r3+∮∂V(t)⁡pd⁡r¯2{displaystyle int _{V(t)}rho {bar {g}},operatorname {d} r^{3}+oint _{partial V(t)}poperatorname {d} {bar {r}}^{2}}

Tale espressione è comunemente espressa nella forma^[2]:

F¯V+F¯p=0{displaystyle {bar {F}}_{V}+{bar {F}}_{p}=0}

dove:

• 
  F¯V{displaystyle {bar {F}}_{V}} rappresenta la forza risultante di volume.


• 
  F¯p{displaystyle {bar {F}}_{p}} la forza risultante di pressione che agisce sulla frontiera del volume.

Viene definita equazione globale, e stabilisce che la risultante delle forze di volume di un fluido statico è uguale ed opposta alla spinta che agisce sulla superficie che lo delimita, logicamente dall'esterno verso l'interno.
Da essa deriva la legge di Archimede.

Forma locale |

La forma locale dell'equazione fondamentale dell'idrostatica è valida nei punti di continuità degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione, e può essere ricavata dalla legge di Pascal e dalla conservazione della quantità di moto locale^[2]:

g¯+∇pρ=0{displaystyle {bar {g}}+{frac {nabla p}{rho }}=0}

che permette di calcolare la pressione:

Δp=∫z0z0+Δzρg¯⋅d⁡r¯=∫z0z0+Δzρgd⁡z{displaystyle Delta p=int _{z_{0}}^{z_{0}+Delta z}rho {bar {g}}cdot operatorname {d} {bar {r}}=int _{z_{0}}^{z_{0}+Delta z}rho goperatorname {d} z}

Se densità e accelerazione di gravità sono omogenei nel dominio, l'equazione locale dell'idrostatica si traduce nella legge di Stevin:

Δp=ρgΔz{displaystyle Delta p=rho ,g,Delta z}

Esempi |

Fluido incomprimibile a riposo in un campo gravitazionale uniforme |

Notazione: nell'esempio che segue, si orienterà l'asse spaziale secondo quello dell'accelerazione esterna gravitazionale (in senso verticale verso il basso: z cresce man mano che si scende).

Essendo il fluido incomprimibile, esso trasmette integralmente gli sforzi. La pressione, ad una profondità z, risulta quindi dalla pressione p₀ che esercita l'aria in superficie, e dal peso p della colonna d'acqua al di sopra della membrana.

Supponiamo che la membrana sia orizzontale ed orientata verso l'alto, e che la sua area sia S.
La colonna d'acqua situata al di sopra ha volume S·z, quindi massa ρ·S·z se ρ è la densità dell'acqua.
Il peso dell'acqua è quindi:

p=ρ⋅g⋅(S⋅z){displaystyle p=rho cdot gcdot (Scdot z)}

dove g è l'accelerazione di gravità, e la membrana è dunque sottoposta ad una forza F

F=p0⋅S+ρ⋅g⋅(S⋅z){displaystyle F=p_{0}cdot S+rho cdot gcdot (Scdot z)}

p=FS=p0+ρ⋅g⋅z{displaystyle p={frac {F}{S}}=p_{0}+rho cdot gcdot z}

È questa variazione della pressione in funzione della profondità (Legge di Stevino) che crea la spinta di Archimede.

Quando si considerano grandi variazioni di altitudine, non si può più considerare il campo di gravità come costante, g dipende dunque da z.
E siccome il fluido è un gas, non lo si può più considerare come incomprimibile, perciò ρ dipende da z; ma il fenomeno è sensibile solo per variazioni di pressione significative, ed essendo piccolo ρ nel caso di un gas, in questo caso interviene solo variazioni di z abbastanza grandi.

Localmente, per piccole variazioni dz di z, si può ancora scrivere:

p(z+dz)=p(z)+ρ(z)⋅g(z)⋅dz{displaystyle p(z+dz)=p(z)+rho (z)cdot g(z)cdot dz}

È necessario quindi integrare tale equazione:

p(Z)=p(z0)+∫0z0ρ(z)⋅g(z)⋅dz{displaystyle p(Z)=p(z_{0})+int _{0}^{z_{0}}rho (z)cdot g(z)cdot dz}

se si conosce la legge del gas, per esempio se si tratta di un gas perfetto, allora per una data massa m di gas, si può ricavare il volume V alla pressione p, e quindi la massa volumica ρ alla pressione p:

ρ=ρ0⋅pp0{displaystyle rho =rho _{0}cdot {frac {p}{p_{0}}}}

se ρ₀ e p₀ sono valori ad un'altitudine z₀ di riferimento.

Nel caso dell'atmosfera, bisogna inoltre tenere conto della variazione di temperatura e di composizione con la quota.

Spinta su una superficie piana |

Consideriamo una superficie S che giace su un piano inclinato di un angolo α sull'orizzontale; su questa superficie agisce la pressione di un liquido con un peso specifico γ, a questo compete un piano dei carichi idrostatici. Le spinte esercitate dal liquido su ogni infinitesimo elemento della superficie piana valgono:

dF=p⋅n⋅dA=γ⋅h⋅n⋅dA{displaystyle dF=pcdot ncdot dA=gamma cdot hcdot ncdot dA}

Essendo tutte queste forze infinitesime parallele tra loro ammettono la possibilità di essere integrate ed avranno una spinta totale S che sarà direttamente normale alla superficie, che vale:

F=∫ApdA=∫AγhdA{displaystyle F=int _{A}^{}p,dA=int _{A}^{}gamma h,dA}

La retta che interseca il piano dei carichi idrostatici col piano della superficie viene detta retta di sponda.

∫AγhdA=∫AγxsenαdA=γx0Asenα=γh0A{displaystyle int _{A}^{}gamma h,dA=int _{A}^{}gamma xsenalpha ,dA=gamma x_{0}Asenalpha =gamma h_{0}A}

F=γh0A=p0A{displaystyle F=gamma h_{0}A=p_{0}A}

In altre parole la spinta su una generica superficie piana è una forza normale diretta alla superficie stessa con un modulo pari al prodotto della pressione p0{displaystyle p_{0}} nel suo baricentro per l'area della superficie.

È possibile ricavare:

F=γh0A=γx0Asenα=γMsenα{displaystyle F=gamma h_{0}A=gamma x_{0}Asenalpha =gamma Msenalpha }

Dove M è il momento meccanico di A rispetto alla linea di sponda.

Per poter calcolare il punto d'applicazione della spinta, cioè il centro di spinta, dobbiamo considerare due assi cartesiani, quello x coincide con una retta di massima pendenza del piano dove giace la superficie, e quello y coincidente con la retta di sponda.
Le coordinate x′{displaystyle x'} ed y′{displaystyle y'} del centro di spinta rispetto al sistema di riferimento considerato sopra, si possono ricavare uguagliando i momenti delle risultanti attraverso gli integrali dei momenti delle spinte elementari. Poiché le forze sono parallele, l'equilibrio sarà dato da:

F⋅x′=∫ApxdA=∫AγhxdA=γsenα∫Ax2dA{displaystyle Fcdot x'=int _{A}^{}px,dA=int _{A}^{}gamma hx,dA=gamma senalpha int _{A}^{}x^{2},dA}

F⋅y′=∫ApydA=∫AγhydA=γsenα∫AxydA{displaystyle Fcdot y'=int _{A}^{}py,dA=int _{A}^{}gamma hy,dA=gamma senalpha int _{A}^{}xy,dA}

Se consideriamo i due momenti di inerzia:

• 
  I : momento d'inerzia della superficie A rispetto alla linea di sponda


• 
  I_xy : momento centrifugo della superficie A rispetto agli assi x ed y
  

Possiamo scrivere:

x′=IM{displaystyle x'={I over M}}

y′=IxyM{displaystyle y'={I_{xy} over M}}

Queste ultime formule ci mostrano:

• y' si annulla nel caso in cui l'asse x fosse di simmetria rispetto alla superficie A; in altre parole nel caso la superficie ammettesse una asse di simmetria coincidente con una linea di massima pendenza, allora il centro di spinta sarebbe qui;


• Le coordinate del centro di spinta sono indipendenti dall'inclinazione della superficie α, difatti rimane inalterata se la superficie ruota attorno alla linea di sponda;


• Il baricentro è sempre più vicino dalla linea di sponda, rispetto al centro di spinta; per dimostrare questo, se consideriamo I₀ il momento d'inerzia della superficie rispetto al baricentro, parallelo alla retta di sponda, avremo:

I=I0+Ax12{displaystyle I=I_{0}+Ax_{1}^{2}}

x0=I0M+x1>x1{displaystyle x_{0}={I_{0} over M}+x_{1}>x_{1}}

Applicazioni |

Se consideriamo una superficie rettangolare con due lati orizzontali di lunghezza L, indicando con x una coordinata sulla linea di massima pendenza della superficie, il modulo della spinta lo possiamo scrivere come:

F=L∫z1z2pdz{displaystyle F=Lint _{z_{1}}^{z_{2}}p,dz}

Dove integrando rappresentiamo l'area del diagramma delle pressione lungo una delle linee di massima pendenza. Integrando:

F=γL2senα(z22−z12){displaystyle F={gamma L over 2senalpha }(z_{2}^{2}-z_{1}^{2})}

dove:

• α indica l'angolo tra il piano della superficie con l'orizzontale


• hz₁ ed z₂ sono gli affondamenti dei lati orizzontali che sono sotto il piano dei carichi idrostatici.

Nel caso che il lato superiore del rettangolo è sul piano dei carichi idrostatici, cioè nel caso in cui h₁ sia uguale a 0:

F=γLh222sin⁡α=12γLb2sin⁡α{displaystyle F={gamma Lh_{2}^{2} over 2sin {alpha }}={1 over 2}gamma Lb^{2}sin {alpha }}

Per calcolare quindi il punto di applicazione della spinta:

x0=b6{displaystyle x_{0}={b over 6}}

x1+x0=23b{displaystyle x_{1}+x_{0}={2 over 3}b}

Spinta su superfici curve |

A differenza delle superfici piane, nel caso di superfici curve le spinte sui punti infinitesimi non sempre sono parallele tra di loro. La loro somma non è in generale riconducibile ad un'unica forza, ma a due forze una verticale ed una orizzontale. Si prende una terna cartesiana con due assi su un piano orizzontale, x ed y, ed un terzo verticale z; la spinta in ogni punto infinitesimo sarà:

dF=pndS{displaystyle dF=pmathbf {n} dS}

Scomponendolo nelle tre direzioni avremo:

dFx=pcos⁡nx^dS{displaystyle dF_{x}=pcos {hat {nx}}dS}

dFy=pcos⁡ny^dS{displaystyle dF_{y}=pcos {hat {ny}}dS}

dFz=pcos⁡nz^dS{displaystyle dF_{z}=pcos {hat {nz}}dS}

Dove cos⁡nx^,cos⁡ny^ecos⁡nz^{displaystyle cos {hat {nx}},cos {hat {ny}}ecos {hat {nz}}} sono le proiezioni di dS_x, dS_y e dS_z dell'infinitesima area dS sui tre piani che hanno per normale gli assi x, y e z. Possiamo anche scriverli come:

dFx=pdSx{displaystyle dF_{x}=pdS_{x}}

dFy=pdSy{displaystyle dF_{y}=pdS_{y}}

dFz=pdSz{displaystyle dF_{z}=pdS_{z}}

Se sommiamo tutte le componenti elementari dell'intera superficie:

Fx=∫SxpdSx=γhxSx{displaystyle F_{x}=int _{S_{x}}^{}p,dS_{x}=gamma h_{x}S_{x}}

Fy=∫SypdSy=γhySy{displaystyle F_{y}=int _{S_{y}}^{}p,dS_{y}=gamma h_{y}S_{y}}

Fz=∫SzpdSz=γW{displaystyle F_{z}=int _{S_{z}}^{}p,dS_{z}=gamma W}

Che ci dice:

• Le componenti F_x ed F_y sono uguali a quelle agenti sulle superfici piane verticali, S_x e S_y; che sono le proiezioni della superficie curva sui piani xz ed yz aventi per normali gli assi x ed y;


• F_z è il peso del volume W del fluido, limitata dai piani dei carichi idrostatici e dalla superficie curva.

La forza verticale sarà data dal modulo:

Fv=Fz{displaystyle F_{v}=F_{z}}

Possiamo comporre le due forse F_x ed F_y grazie al teorema di Pitagora, per trovare la forza orizzontale.

F0=Fx2+Fy2{displaystyle F_{0}={sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}}

La spinta totale può essere ricondotta al semplice calcolo di due spinte su superfici piane e determinando il peso di un volume del fluido. Nel caso in cui la superficie curva avesse una linea di contorno contenuta in un piano, la spinta esercitata su di essa sarà individuata applicando l'equazione globale dell'equilibrio statico al volume in esame.

Scambio termico |

Il primo principio della termodinamica declinato nell'idrostatica si traduce in una conduzione-convezione statica senza sorgente termica:

S=∫Vσ¯¯:0¯¯−ρ⟨v¯⟩⋅0¯d⁡r3=0{displaystyle S=int _{V}{bar {bar {sigma }}}:{bar {bar {0}}}-rho langle {bar {v}}rangle cdot {bar {0}}operatorname {d} r^{3}=0}

quindi:

∂U(T)∂t+I(T)=0{displaystyle {frac {partial U(T)}{partial t}}+I(T)=0}

ovvero, esplicitando i due termini:

∂∂t∫VρςvTd⁡r3+∮∂V⁡ρςv(⟨v¯⟩T−d¯¯T⋅∇T)⋅d⁡r¯2{displaystyle {frac {partial }{partial t}}int _{V}rho varsigma _{v}Toperatorname {d} r^{3}+oint _{partial V}rho varsigma _{v}left(langle {bar {v}}rangle T-{bar {bar {d}}}_{T}cdot nabla Tright)cdot {operatorname {d} {bar {r}}^{2}}}

e applicando il teorema della divergenza:

∂∂t∫VρςvTd⁡r3+∫V∇(ρςv)⋅(⟨v¯⟩T−d¯¯T⋅∇T)+ρςv∇⋅(⟨v¯⟩T−d¯¯T⋅∇T)d⁡r3{displaystyle {frac {partial }{partial t}}int _{V}rho varsigma _{v}Toperatorname {d} r^{3}+int _{V}nabla left(rho varsigma _{v}right)cdot left(langle {bar {v}}rangle T-{bar {bar {d}}}_{T}cdot nabla Tright)+rho varsigma _{v}nabla cdot left(langle {bar {v}}rangle T-{bar {bar {d}}}_{T}cdot nabla Tright)operatorname {d} r^{3}}

ovvero applicando la regola di Leibniz:

∫V∂(ρςv)∂tT+ρςv∂T∂t+∇(ρςv)⋅⟨v¯⟩T−∇(ρςv)⋅d¯¯T⋅∇T+ρςv∇⋅(⟨v¯⟩T)−ρςv∇⋅(d¯¯T⋅∇T)d⁡r3{displaystyle int _{V}{frac {partial (rho varsigma _{v})}{partial t}}T+rho varsigma _{v}{frac {partial T}{partial t}}+nabla left(rho varsigma _{v}right)cdot langle {bar {v}}rangle T-nabla left(rho varsigma _{v}right)cdot {bar {bar {d}}}_{T}cdot nabla T+rho varsigma _{v}nabla cdot (langle {bar {v}}rangle T)-rho varsigma _{v}nabla cdot ({bar {bar {d}}}_{T}cdot nabla T)operatorname {d} r^{3}}

e infine, considerando la conservazione della massa:

∫Vρςv∂T∂t−ρςvd¯¯T:∇2T+(ρςv⟨v¯⟩−∇⋅(ρςvd¯¯T))⋅∇T+ρ(∂(ςv)∂t+⟨v¯⟩⋅∇(ςv))Td⁡r3=0{displaystyle int _{V}rho varsigma _{v}{frac {partial T}{partial t}}-rho varsigma _{v}{bar {bar {d}}}_{T}:nabla ^{2}T+left(rho varsigma _{v}langle {bar {v}}rangle -nabla cdot (rho varsigma _{v}{bar {bar {d}}}_{T})right)cdot nabla T+rho left({frac {partial (varsigma _{v})}{partial t}}+langle {bar {v}}rangle cdot nabla (varsigma _{v})right)Toperatorname {d} r^{3}=0}

che nei punti di continuità di tutte le grandezze coinvolte nell'integrando diventa l'equazione di reazione-trasporto-diffusione omogenea:

∂T∂t−d¯¯T:∇2T+c¯T⋅∇T+fTT=0{displaystyle {frac {partial T}{partial t}}-{bar {bar {d}}}_{T}:nabla ^{2}T+{bar {c}}_{T}cdot nabla T+f_{T}T=0}

dove:

• 
  d¯¯T{displaystyle {bar {bar {d}}}_{T}} è il tensore di diffusività termica (generica, non solo idrostatica)

• 
  c¯T=(⟨v¯⟩−∇⋅(ρςvd¯¯T)ρςv){displaystyle {bar {c}}_{T}=left(langle {bar {v}}rangle -{frac {nabla cdot (rho varsigma _{v}{bar {bar {d}}}_{T})}{rho varsigma _{v}}}right)} è il vettore di trasporto termico (generico, non solo idrostatico)

• 
  fT=(1ςv∂(ςv)∂t+⟨v¯⟩ςv⋅∇(ςv)){displaystyle f_{T}=left({frac {1}{varsigma }}_{v}{frac {partial (varsigma _{v})}{partial t}}+{frac {langle {bar {v}}rangle }{varsigma _{v}}}cdot nabla (varsigma _{v})right)} è la reattività termica idrostatica, più semplice che nel caso generale.

Note |

Bibliografia |

• (EN) William Henry Besant Elementary hydrostatics (Cambridge, Deighton, 1882)


• (EN) George Greenhill A treatise on hydrostatics (London, MacMillan, 1894)


• (EN) George Minchin A treatise on hydrostatics v. 1. Containing the more elementary part of the subject (Oxford: Clarendon press, 1912)


• (EN) George Minchin A treatise on hydrostatics v. 2. Containing the more advanced part of the subject (Oxford: Clarendon press, 1912)


• Duilio Citrini, Giorgio Noseda, Idraulica, Cesano Boscono, Casa Editrice Ambrosiana, 1987, p. 468.

Voci correlate |

• Fluido


• Deformazioni nei fluidi


• Fluidodinamica


• Idraulica


• Idrodinamica


• Formula di Laplace


• Legge di Stevino


• Capillarità


• Principio di Archimede

Altri progetti |

• 
  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «idrostatica»


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su idrostatica
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Idrostatica, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Idrostatica, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  

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