Insieme aperto






I punti (x,y){displaystyle (x,y)}(x,y) del piano cartesiano che soddisfano la relazione x2+y2=r2{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}x^{2}+y^{2}=r^{2} formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r{displaystyle r}r. I punti tali che x2+y2<r2{displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}x^{2}+y^{2}<r^{2} sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso.


Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.




Indice






  • 1 Spazi topologici


  • 2 Spazi metrici


  • 3 Spazio euclideo


  • 4 Insieme chiuso


  • 5 Bibliografia


  • 6 Voci correlate





Spazi topologici |


La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.


Perché la collezione T sia una topologia deve valere:



  1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T

  2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T

  3. l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T


Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.



Spazi metrici |


In uno spazio metrico (M,d){displaystyle (M,d)}(M,d), un sottoinsieme U{displaystyle U}U di M{displaystyle M}M si dice aperto se, per ogni x∈U{displaystyle xin U}xin U, esiste un numero reale ϵ>0{displaystyle epsilon >0}epsilon >0 tale che i punti che distano da x{displaystyle x}x per meno di ϵ{displaystyle epsilon }epsilon appartengono ancora a U{displaystyle U}U. Formalmente: se d(x,y)<ϵ{displaystyle d(x,y)<epsilon }{displaystyle d(x,y)<epsilon }, allora y∈U{displaystyle yin U}{displaystyle yin U}. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M{displaystyle M}M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).



Spazio euclideo |


Lo spazio euclideo Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}mathbb {R} ^{n} è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto U{displaystyle U}U dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni x{displaystyle x}x di U{displaystyle U}U esiste una palla di raggio r>0{displaystyle r>0}r>0 centrata in x{displaystyle x}x, interamente contenuta in U{displaystyle U}U.


In particolare, un intervallo in R{displaystyle mathbb {R} }R è aperto se è del tipo (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b), dove a{displaystyle a}a e b{displaystyle b}b possono anche essere rispettivamente −∞{displaystyle -infty }-infty e +∞{displaystyle +infty }+infty.



Insieme chiuso |


A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.



Bibliografia |



  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.

  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.



Voci correlate |



  • Insieme chiuso

  • Intorno


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