Spazio paracompatto
In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.
Indice
1 Definizione
2 Esempi
3 Proprietà
4 Bibliografia
5 Voci correlate
6 Collegamenti esterni
Definizione |
Uno spazio topologico è paracompatto se ogni ricoprimento aperto F{displaystyle {mathcal {F}}}
- ogni G∈G{displaystyle Gin {mathcal {G}}}
è contenuto in un elemento di F{displaystyle {mathcal {F}}}
- ogni x∈X{displaystyle xin X}
ammette un intorno Ux{displaystyle U_{x}}
che interseca solo un numero finito di elementi di G{displaystyle {mathcal {G}}}
In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che X{displaystyle X}
Esempi |
- Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
- Gli aperti e i chiusi di Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}
sono paracompatti.
- Ogni varietà topologica è paracompatta.
- Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
- L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
- Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.
Proprietà |
- Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
- Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
- Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
- L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.
Bibliografia |
- (EN) Ryszard Engelking, General topology, Berlino, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- (EN) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces, in Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata e Jerry E. Vaughan (a cura di), Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8.
Voci correlate |
- Partizione dell'unità
- Spazio compatto
Collegamenti esterni |
- (EN) A.V. Arkhangel'skii, Paracompact space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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