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In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio; non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest'idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

Definizioni |

In topologia, una curva è una funzione continua

f:I→X{displaystyle f:Irightarrow X}

dove I{displaystyle I} è un intervallo della retta reale e X{displaystyle X} è un qualsiasi spazio topologico.

Ad esempio, X{displaystyle X} può essere il piano cartesiano R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} o lo spazio R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}. L'intervallo I{displaystyle I} può essere ad esempio un intervallo chiuso [a,b]{displaystyle [a,b]}, un intervallo aperto (a,b){displaystyle (a,b)}, una semiretta [a,+∞){displaystyle [a,+infty )}, ecc.

Sostegno della curva |

L'immagine di una curva viene anche chiamato sostegno della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il sostegno e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il sostegno della curva

f:[0,1]→R2{displaystyle f:[0,1]rightarrow mathbb {R} ^{2}}

f(t)=e2πit=(cos⁡(2πt),sin⁡(2πt)){displaystyle f(t)=e^{2pi it}=(cos(2pi t),sin(2pi t))}

In topologia, quando l'intervallo di partenza I{displaystyle I} è quello unitario [0,1]{displaystyle [0,1]} si usa spesso uno dei termini equivalenti cammino o arco.

Curva semplice e curva chiusa |

Una curva iniettiva è detta curva semplice o arco di Jordan. Si tratta di una curva f:[a,b]→X{displaystyle f:[a,b]to X} tale che presi due punti distinti x1,x2{displaystyle x_{1},x_{2}}, di cui almeno uno appartenente all'intervallo (a,b){displaystyle (a,b)}, risulta f(x1)≠f(x2){displaystyle f(x_{1})neq f(x_{2})}.

Una curva f:[a,b]→X{displaystyle f:[a,b]to X} che coincide sui suoi estremi, cioè tale che f(a)=f(b){displaystyle f(a)=f(b)}, è una curva chiusa o un laccio. Quindi il cerchio è una curva piana chiusa e semplice.

Curva piana |

Una curva piana è una curva

f:[0,1]→R2{displaystyle f:[0,1]rightarrow mathbb {R} ^{2}}

a valori nel piano cartesiano R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}. Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan.

Parametrizzazioni |

Se p:I→I{displaystyle p:Irightarrow I} è un omeomorfismo crescente dell'intervallo (ad esempio, una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva), allora g=f∘p{displaystyle g=fcirc p} ottenuta componendo p{displaystyle p} e f{displaystyle f} è un'altra curva avente lo stesso sostegno di f{displaystyle f}. Si dice che g{displaystyle g} è un'altra parametrizzazione della curva f{displaystyle f}.

Differenziabilità |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria differenziale delle curve.

Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore", che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio, nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva (nota ora come curva di Peano) avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff maggiore di uno (un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano).

Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se X{displaystyle X} è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che f{displaystyle f} sia differenziabile in ogni punto, ed in questo caso parlare di curva differenziabile o regolare. In una curva differenziabile, per ogni t∈I{displaystyle tin I} è definita una tangente alla curva in f(t){displaystyle f(t)}: la tangente è il vettore delle derivate di f{displaystyle f}.

La lunghezza di una tangente è la velocità della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno. Una tale curva è parametrizzata dalla lunghezza d'arco.

Regolarità a tratti |

In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che formano però degli "angoli" in alcuni punti. Per questo scopo si definisce una curva regolare a tratti come una curva il cui dominio I{displaystyle I} è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo I{displaystyle I} in alcuni intervalli I1,…,Ik{displaystyle I_{1},ldots ,I_{k}} tali che la restrizione della curva su ciascun Ij{displaystyle I_{j}} sia regolare.

Rappresentazione cartesiana e parametrica |

Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.

Rappresentazione cartesiana |

È possibile rappresentare una curva in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale Φ:R3→R2{displaystyle Phi :mathbb {R} ^{3}rightarrow mathbb {R} ^{2}}, ovvero i punti di coordinate (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} che verificano il sistema:

C:{f(x,y,z)=0g(x,y,z)=0{displaystyle C:{begin{cases}f(x,y,z)=0\g(x,y,z)=0end{cases}}}

dove f{displaystyle f} e g{displaystyle g} sono funzioni di classe almeno C1{displaystyle C^{1}} a valori reali. Una tale rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.

Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto P0=(x0,y0,z0){displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})} è che la jacobiana:

J=∂Φ(x0,y0,z0)∂(x,y,z){displaystyle J={frac {partial Phi (x_{0},y_{0},z_{0})}{partial (x,y,z)}}}

abbia rango massimo

Rappresentazione parametrica |

Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile α(t):I=[a,b]⊆R→R3{displaystyle alpha (t):I=[a,b]subseteq mathbb {R} to mathbb {R} ^{3}} del tipo:^[1]

α(t)=(α1(t),α2(t),α3(t)) {displaystyle alpha (t)=(alpha _{1}(t),alpha _{2}(t),alpha _{3}(t)) }

Si può scrivere anche:

α(t):{x=α1(t)y=α2(t)z=α3(t){displaystyle alpha (t):{begin{cases}x=alpha _{1}(t)\y=alpha _{2}(t)\z=alpha _{3}(t)end{cases}}}

La variabile t∈I{displaystyle tin I} si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe C1 {displaystyle C^{1} } in un intervallo se le funzioni α1(t) {displaystyle alpha _{1}(t) }, α2(t) {displaystyle alpha _{2}(t) } e α3(t) {displaystyle alpha _{3}(t) } hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva C1 {displaystyle C^{1} } si dice regolare in un punto t0 {displaystyle t_{0} } se:

ϕ′(t0)=(α1′(t0),α2′(t0),α3′(t0))≠(0,0,0){displaystyle phi '(t_{0})=(alpha _{1}^{'}(t_{0}),alpha _{2}^{'}(t_{0}),alpha _{3}^{'}(t_{0}))neq (0,0,0)}

e regolare in I{displaystyle I} se ciò vale in ogni punto di I {displaystyle I }. Un punto in cui si abbia α′(t0)=(0,0,0) {displaystyle alpha '(t_{0})=(0,0,0) } si dice punto singolare per la curva.

Lunghezza della curva |

Lo stesso argomento in dettaglio: lunghezza di un arco.

Se (X,d){displaystyle (X,d)} è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva φ:[a,b]→X{displaystyle varphi :[a,b]to X} e una partizione dell'intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} cioè un insieme finito di punti ρ={tk}kn{displaystyle rho ={t_{k}}_{k}^{n}} tale che:

a=t0<t1<…<tn=b{displaystyle a=t_{0}<t_{1}<ldots <t_{n}=b}

Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite φ{displaystyle varphi }. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.

Possiamo definire la lunghezza della curva f{displaystyle f} come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione ρ{displaystyle rho }:

L(φ){displaystyle L(varphi )}	=supρ[d(φ(t0),φ(t1))+...+d(φ(tn−1),φ(tn))]=supρ∑i=1nd(φ(ti),φ(ti−1)){displaystyle =sup _{rho }left[d(varphi (t_{0}),varphi (t_{1}))+...+d(varphi (t_{n-1}),varphi (t_{n}))right]=sup _{rho }sum _{i=1}^{n}d(varphi (t_{i}),varphi (t_{i-1}))}
	=sup{∑i=1nd(φ(ti),φ(ti−1)):n∈N e a=t0<t1<⋯<tn=b}{displaystyle =sup left{sum _{i=1}^{n}d(varphi (t_{i}),varphi (t_{i-1})):nin mathbb {N} {mbox{ e }}a=t_{0}<t_{1}<dots <t_{n}=bright}}

Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.

La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano parametrizzazioni equivalenti.

Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto t dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su I:

L(φ)=∫I||φ˙(t)||dt{displaystyle L(varphi )=int _{I}||{dot {varphi }}(t)||,dt}

usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:

L(φ)=∫φdt{displaystyle L(varphi )=int _{varphi }dt}

Note |

Bibliografia |

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
  


• 
  Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
  


• E. H. Lockwood A Book of Curves (1961, Cambridge)

Voci correlate |

• Arco (topologia)


• Curva nello spazio


• Curva piana


• Differenziabilità


• Derivata


• Geometria analitica


• Geometria differenziale delle curve


• Glossario sulle curve matematiche


• Lunghezza di un arco


• Superficie


• Tangente (geometria)


• Teorema delle funzioni implicite

Altri progetti |

• 
  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «curva»


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle curva
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Curva, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• (EN) A Visual Dictionary of Special Plane Curves curato da Xah Lee


• (EN) Famous Curves Index in MacTutor
  


• (EN) Articolo in MathWorld
  


• (EN) Mathematical curves curato da jan wassenaar


• 
  Indice delle curve tridimensionali nel sito Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables, cioè mathcurve.com
  


• (EN) Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland


• (EN) Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves


• (EN) Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses, su faculty.evansville.edu.


• (EN) Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses, su faculty.evansville.edu.

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V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tychonoff · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni Topologia dello spazio-tempo · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
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