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In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y}, la relazione è indicata con f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y} e l'elemento associato a x∈X{displaystyle xin X} tramite la funzione f{displaystyle f} viene abitualmente indicato con f(x){displaystyle f(x)} (si pronuncia "effe di x").

Descrizione |

La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio.
Per esempio: la funzione che associa a un numero naturale la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero intero la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).

Si dice che x{displaystyle x} è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre y=f(x){displaystyle y=f(x)} è un valore della variabile dipendente della funzione.

Sinonimi del termine funzione sono applicazione e mappa. Il termine trasformazione viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione f:X→X{displaystyle f:Xrightarrow X} invertibile e che conserva le proprietà geometriche di X{displaystyle X}, mentre operatore è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali.

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.

Esempi |

Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.

Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate x,y,z{displaystyle x,y,z} di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T{displaystyle T} e pressione P{displaystyle P} dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x,y,z),{displaystyle (x,y,z),} e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T,P).{displaystyle (T,P).}

Definizione |

Dati due insiemi non vuoti X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y}, si chiama funzione da X{displaystyle X} in Y{displaystyle Y} una relazione f{displaystyle f} tale che per ogni x∈X{displaystyle xin X;} esiste uno ed un solo elemento y∈Y{displaystyle yin Y;} tale che (x,y)∈f{displaystyle (x,y)in f}. Tale elemento tradizionalmente si denota con f(x){displaystyle f(x)}: in altre parole, invece di scrivere (x,y)∈f{displaystyle (x,y)in f} si può usare la scrittura più tradizionale:

y=f(x).{displaystyle y=f(x).}

Il fatto che f{displaystyle f} sia una funzione da X{displaystyle X} in Y{displaystyle Y} che associa a x{displaystyle x} l'elemento f(x){displaystyle f(x)} si può esprimere con la scrittura:

f:X⟶Yx⟼f(x).{displaystyle {begin{matrix}f:&X&longrightarrow &Y\&x&longmapsto &f(x)end{matrix}}.}

L'insieme X{displaystyle X} (da cui la funzione f{displaystyle f} "prende" i valori) è il dominio della funzione f{displaystyle f}, mentre l'insieme Y{displaystyle Y} (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione f{displaystyle f}) è il codominio della funzione f{displaystyle f}.^[1]

Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio.

Immagine e controimmagine |

.mw-parser-output .vedi-anche{border:1px solid #CCC;font-size:95%;margin-bottom:.5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:first-child{padding:0 .5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:last-child{width:100%}

Lo stesso argomento in dettaglio: Immagine (matematica).

Data una funzione f{displaystyle f} di dominio X{displaystyle X} e codominio Y,{displaystyle Y,} comunque scelto un elemento x{displaystyle x} del dominio, si chiama immagine di x{displaystyle x} il corrispondente elemento del codominio, indicato con f(x).{displaystyle f(x).} Analogamente, se y{displaystyle y} è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento x{displaystyle x} del dominio, cioè se y=f(x){displaystyle y=f(x)}, si dice che x{displaystyle x} è una controimmagine di y.{displaystyle y.} Mentre a ogni elemento del dominio di f{displaystyle f} è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento y∈Y{displaystyle yin Y} l'insieme

f−1(y)={x∈X|f(x)=y}{displaystyle f^{-1}(y)={xin X,|,f(x)=y}}.

Se f−1(y)≠∅{displaystyle f^{-1}(y)neq emptyset } per ogni y∈Y{displaystyle yin Y} si dice che f{displaystyle f} è suriettiva, mentre se f−1(y){displaystyle f^{-1}(y)} contiene al più un elemento per ogni y{displaystyle y} si dice che f{displaystyle f} è iniettiva. Se valgono entrambe le condizioni, f{displaystyle f} è detta biiettiva o biunivoca.

L'insieme

{y∈Y|∃x∈X:y=f(x)}{displaystyle {yin Y,|,exists xin X:y=f(x)}}

degli elementi y{displaystyle y} del codominio per i quali esiste almeno un x{displaystyle x} nel dominio che ha y{displaystyle y} come immagine è detto immagine di f{displaystyle f} e si denota con Im(f){displaystyle {textrm {Im}}(f)} o con f(X){displaystyle f(X)}.^[2]

Altre notazioni per le funzioni |

Per il valore di una funzione F{displaystyle F} corrispondente a un elemento x{displaystyle x}, denotabile con la notazione tradizionale F(x){displaystyle F(x)}, vengono usate anche altre due scritture.

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

Fx:=F(x).{displaystyle ,Fx:=F(x).}

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone

xF:=F(x).{displaystyle ,xF:=F(x).}

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

F[x]=F(x).{displaystyle F[x]=F(x).}

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia

yFx:=F(x,y),{displaystyle yFx:=F(x,y),}

ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere x+y{displaystyle x+y} e x−y{displaystyle x-y} invece di +(x,y){displaystyle +(x,y)} e −(x,y).{displaystyle -(x,y).}

Estensione e restrizione di una funzione |

Data una funzione f:A→Y{displaystyle f:Ato Y} e un insieme X{displaystyle X} tale che A⊂X{displaystyle Asubset X}, si dice che la funzione f~:X→Y{displaystyle {tilde {f}}:Xto Y} è un'estensione di f all'insieme X{displaystyle X} se

f~∘i=f{displaystyle {tilde {f}}circ i=f}

dove i:A→X{displaystyle i:Ato X} è l'inclusione di A{displaystyle A} in X{displaystyle X}, data da i(a)=a{displaystyle i(a)=a}. Si dice viceversa che f{displaystyle f} è la restrizione di f~{displaystyle {tilde {f}}} all'insieme A{displaystyle A}.

La restrizione di una funzione f{displaystyle f} a un insieme A{displaystyle A} contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con f|A{displaystyle f{big |}_{A}}.

Funzioni di due o più variabili |

Quando il dominio di una funzione f{displaystyle f} è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su n{displaystyle n}-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi x{displaystyle mathbf {x} } viene indicata con la notazione

f(xi) {displaystyle f(x_{i}) }

In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali x{displaystyle x} e y{displaystyle y} al loro prodotto: f(x,y)=xy{displaystyle f(x,y)=xy}. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio N×N{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} }, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: f(x,y)=f(y,x){displaystyle f(x,y)=f(y,x)} e quindi si tratta di una funzione di un insieme f{x,y}{displaystyle f{x,y}} in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:

f(xij).{displaystyle f(x_{ij}).}

Operazioni binarie |

Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano Z×Z{displaystyle mathbb {Z} times mathbb {Z} } a valori in Z{displaystyle mathbb {Z} }, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè x+y{displaystyle x+y} (e non +(x,y){displaystyle +(x,y)}) per descrivere l'immagine della coppia (x,y){displaystyle (x,y)} tramite l'operazione +{displaystyle +}.^[3]

Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme X{displaystyle X} dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

Funzioni a più valori |

Se il codominio di una funzione f{displaystyle f} è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.

Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

(x,y)→(y,x){displaystyle (x,y)to (y,x)}.

Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione

R+→P(R){displaystyle mathbb {R} _{+}to mathbb {P} (mathbb {R} )}

che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.^[4]

Tipologia |

Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.

Classificazione puramente insiemistica |

• Funzione iniettiva


• Funzione suriettiva


• Funzione biunivoca


• Endofunzione


• Permutazione


• Involuzione

Classificazione delle funzioni nell'ambito della teoria della calcolabilità |

• Funzione ricorsiva primitiva


• Funzione calcolabile


• 
  Funzione ricorsiva (secondo la Tesi di Church-Turing, funzioni ricorsive e funzioni calcolabili sono la stessa cosa)


• Funzione ricorsiva totale


• Funzione enumerativa

Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematica |

• Funzione armonica


• Funzione continua


• 
  Funzione pari e funzione dispari
  


• 
  Funzione crescente, funzione decrescente e funzione monotona
  


• Funzione polinomiale


• Funzione razionale fratta


• 
  Funzione algebrica e funzione trascendente
  


• Funzione differenziabile


• Funzione liscia


• Funzione analitica


• Funzione olomorfa


• Funzione antiolomorfa


• Funzione meromorfa


• Funzione convessa


• Funzione concava


• Funzione integrale


• Funzione cilindrica

Alcune funzioni notevoli |

• 
  Funzione Beta, funzione Gamma, funzione zeta di Riemann
  


• 
  Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante
  


• Funzione identità


• 
  Funzione esponenziale, logaritmo
  

Funzioni di interesse probabilistico e statistico |

• Funzione di ripartizione


• Funzione di probabilità


• Funzione di densità


• Funzione generatrice dei momenti


• Funzione caratteristica

Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori reali |

Data una funzione f(x){displaystyle f(x)} di variabile reale a valori reali e una costante c∈R{displaystyle cin mathbb {R} }, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice n-esima ovvero:

z(x)=f(x)+c,{displaystyle z(x)=f(x)+c,}

z(x)=f(x)−c,{displaystyle z(x)=f(x)-c,}

z(x)=f(x)⋅c,{displaystyle z(x)=f(x)cdot c,}

se c≠0{displaystyle cneq 0} si ha anche

z(x)=f(x)c,{displaystyle z(x)={frac {f(x)}{c}},}

se f(x)>0{displaystyle f(x)>0} si ha anche

z(x)=f(x)c,{displaystyle z(x)=f(x)^{c},}

e se c{displaystyle c} intero maggiore di 1, e se c{displaystyle c} pari si deve avere anche f(x)≥0{displaystyle f(x)geq 0}, si ha anche

z(x)=f(x)c.{displaystyle z(x)={sqrt[{c}]{f(x)}}.}

Date due funzioni f(x){displaystyle f(x)} e g(x){displaystyle g(x)} di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:

z(x)=f(x)+g(x),{displaystyle z(x)=f(x)+g(x),}

z(x)=f(x)−g(x),{displaystyle z(x)=f(x)-g(x),}

z(x)=f(x)⋅g(x),{displaystyle z(x)=f(x)cdot g(x),}

se g(x)≠0{displaystyle g(x)neq 0} si ha anche

z(x)=f(x)g(x){displaystyle z(x)={frac {f(x)}{g(x)}}}

se f(x)>0{displaystyle f(x)>0} (o f(x)≥0{displaystyle f(x)geq 0} nel caso in cui f(x)=0∧g(x)>0{displaystyle f(x)=0land g(x)>0}) si ha anche

z(x)=f(x)g(x){displaystyle z(x)=f(x)^{g(x)}}

Composizione |

Date due funzioni f{displaystyle f} : X{displaystyle X} → Y{displaystyle Y} e g{displaystyle g} : Y{displaystyle Y} → Z{displaystyle Z} si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima f{displaystyle f} ad x{displaystyle x} e quindi applicando g{displaystyle g} al risultato f(x){displaystyle f(x)}.

Questa nuova funzione viene denotata con g∘f{displaystyle gcirc f} .mw-parser-output .chiarimento{background:#ffeaea;color:#444444}.mw-parser-output .chiarimento-apice{color:red}(si legge: "f composto g").^{[senza fonte]} Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere^[5]

(g∘f)(x)=g[f(x)]{displaystyle ,(gcirc f)(x)=g[f(x)]}

Traslazione |

Data una funzione f(x){displaystyle f(x)} di variabile reale a valori reali e una costante c∈R{displaystyle cin mathbb {R} }:

• la sua traslata rispetto all'asse y{displaystyle y} verso destra è f(x−c){displaystyle f(x-c)}
  

• la sua traslata rispetto all'asse y{displaystyle y} verso sinistra è f(x+c){displaystyle f(x+c)}
  

• la sua traslata rispetto all'asse x{displaystyle x} verso l'alto è f(x)+c{displaystyle f(x)+c}
  

• la sua traslata rispetto all'asse x{displaystyle x} verso il basso è f(x)−c{displaystyle f(x)-c}
  

Simmetria |

Data una funzione f(x){displaystyle f(x)} di variabile reale a valori reali:

• la simmetrica di f(x){displaystyle f(x)} rispetto all'asse y è f(−x){displaystyle f(-x)}
  

• la simmetrica di f(x){displaystyle f(x)} rispetto all'asse x è −f(x){displaystyle -f(x)}
  

Note |

Voci correlate |

• Dominio e codominio


• Immagine (matematica)


• Grafico di una funzione


• Funzione di variabile reale


• Funzione definita a tratti


• Parte positiva e parte negativa di una funzione


• Studio di funzione


• Storia della nozione di funzione matematica


• 
  Analisi matematica, integrale, derivata
  


• Funzione speciale


• Funzione periodica


• Funzionale


• Funzione parziale


• Applicazione parziale


• Serie di funzioni


• Serie formale di potenze


• Equazione differenziale


• Equazione funzionale


• Teoria delle categorie

Altri progetti |

• 
  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «funzione»


• 
  Wikiversità contiene lezioni su funzione
  


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Funzione, su Treccani.it, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
  


• 
  Funzione, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Funzione, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• Funzione, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 15 marzo 2011.

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V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1° specie · 2° specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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