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In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Definizione |

Data una funzione f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}, si definisce grafico di f{displaystyle f} il sottoinsieme del prodotto cartesiano X×Y{displaystyle Xtimes Y} (cioè una relazione tra gli insiemi X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y}) dato da:^[1]

G(f):={(x,y):x∈X,y=f(x)}.{displaystyle G(f):={big {}(x,y),:,xin X,,y=f(x){big }}.}

Per una funzione reale di variabile reale f:E⊂R→R{displaystyle fcolon Esubset mathbb {R} to mathbb {R} }, il grafico G(f){displaystyle G(f)} è il sottinsieme di R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} dato da {(x,y)∈R2:y=f(x)}{displaystyle {(x,y)in mathbb {R} ^{2}:y=f(x)}}. Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso di una funzione reale di due variabili reali f:Ω⊂R2→R{displaystyle fcolon Omega subset mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} } definita su un sottinsieme del piano x-y, il grafico è dato da:

G:={(x,y,z)∈R3:z=f(x,y)}{displaystyle G:={(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}:z=f(x,y)}}

La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata z=f(x,y){displaystyle z=f(x,y)} nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione z=f(x,y){displaystyle z=f(x,y)} sono date dall'insieme:

C:={f(x,y):f(x,y)=k}{displaystyle C:={f(x,y):f(x,y)=k}}

dove k{displaystyle k} è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico z=f(x,y){displaystyle z=f(x,y)} con i vari piani z=k{displaystyle z=k}.

Il teorema del grafico chiuso |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del grafico chiuso.

Si supponga che X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y} siano spazi di Banach, e che T:X→Y{displaystyle T:Xto Y} sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che T{displaystyle T} è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio X×Y{displaystyle Xtimes Y} dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

Note |

Bibliografia |

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate |

• 
  Fngraph (programma freeware per lo studio di funzioni)


• 
  Gnuplot (programma freeware per tracciare i grafici di funzioni)


• Prodotto cartesiano


• Studio di funzione


• Teorema del grafico chiuso

Altri progetti |

• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su grafico di una funzione
  

Collegamenti esterni |

• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

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V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
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Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
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Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
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