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In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua α:I→R2{displaystyle alpha :Ito mathbb {R} ^{2}}, dove I{displaystyle I} è un intervallo nell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.

L'immagine di una curva viene anche chiamata supporto della curva. Talvolta si usa l'espressione "curva" anche per indicare il supporto di una curva.

Prime considerazioni |

Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.

Una curva piana si dice semplice se non si autointerseca, ovvero se per ogni t1≠t2∈I{displaystyle t_{1}neq t_{2}in I} si ha α(t1)≠α(t2){displaystyle alpha (t_{1})neq alpha (t_{2})}. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.

Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia limitata, cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}, oppure sia illimitata. Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.

Rappresentazioni |

Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Rappresentazione in forma cartesiana esplicita |

Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:

y=f(x){displaystyle y=f(x)}

tale che ad ogni punto x{displaystyle x} corrisponde un punto y{displaystyle y}, e in modo che ogni punto (x,y){displaystyle (x,y)} del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali. In effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:

α(t)=(t,f(t)){displaystyle alpha (t)=(t,f(t))}

cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.

Rappresentazione in forma cartesiana implicita |

Una curva si può rappresentare anche nella forma:

F(x,y)=0{displaystyle F(x,y)=0}

cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.

Rappresentazione parametrica |

La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:

α:{x=ϕ(t)y=ψ(t){displaystyle alpha :{begin{cases}x=phi (t)\y=psi (t)end{cases}}}

oppure:

α(t)=(ϕ(t),ψ(t)){displaystyle alpha (t)=(phi (t),psi (t))}

dove t∈I{displaystyle tin I} si chiama parametro. La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro I{displaystyle I}.

Una curva piana parametrica α(t)=(ϕ(t),ψ(t)){displaystyle alpha (t)=(phi (t),psi (t))} si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni ϕ(t){displaystyle phi (t)} e ψ(t){displaystyle psi (t)} hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice regolare in un punto t0{displaystyle t_{0}} se α′(t0)=(ϕ′(t0),ψ′(t0))≠(0,0){displaystyle alpha '(t_{0})=(phi '(t_{0}),psi '(t_{0}))neq (0,0)} e regolare in I se α′(t)≠(0,0){displaystyle alpha '(t)neq (0,0)} in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia α′(t0)=(0,0){displaystyle alpha '(t_{0})=(0,0)} si dice che è un punto singolare per la curva.

Retta tangente |

La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia α(t){displaystyle alpha (t)} una curva differenziabile e P0=α(t0){displaystyle P_{0}=alpha (t_{0})} un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per P0{displaystyle P_{0}} parallela al vettore α′(t0)=(ϕ′(t0),ψ′(t0)){displaystyle alpha '(t_{0})=(phi '(t_{0}),psi '(t_{0}))}.

La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto t0{displaystyle t_{0}}:

ψ′(t0)⋅(ϕ(t0)−ϕ)−ϕ′(t0)⋅(ψ(t0)−ψ)=0{displaystyle psi '(t_{0})cdot (phi (t_{0})-phi )-phi '(t_{0})cdot (psi (t_{0})-psi )=0}

e equazioni parametriche:

{ϕ=ϕ′(t0)(t−t0)+ϕ(t0)ψ=ψ′(t0)(t−t0)+ψ(t0){displaystyle {begin{cases}phi =phi '(t_{0})(t-t_{0})+phi (t_{0})\psi =psi '(t_{0})(t-t_{0})+psi (t_{0})end{cases}}}

Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione y=f(x){displaystyle y=f(x)}, la retta tangente nel punto (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} è data:

f′(x0)⋅(x−x0)−(y−y0)=0{displaystyle f'(x_{0})cdot (x-x_{0})-(y-y_{0})=0}

mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita F(x,y)=0{displaystyle F(x,y)=0} la retta tangente nel punto (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} è data da:

Fx⋅(x−x0)+Fy(y−y0)=0{displaystyle F_{x}cdot (x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})=0}

Retta normale |

La regolarità della curva permette di definire anche la retta normale alla curva nel punto t0{displaystyle t_{0}} di equazione cartesiana:

ϕ′(t0)⋅(ϕ(t0)−ϕ)+ψ′(t0)⋅(ψ(t0)−ψ)=0{displaystyle phi '(t_{0})cdot (phi (t_{0})-phi )+psi '(t_{0})cdot (psi (t_{0})-psi )=0}

Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:

f′(x0)⋅(y−y0)+(x−x0)=0{displaystyle f'(x_{0})cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0}

mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:

Fy⋅(x−x0)−Fx⋅(y−y0)=0{displaystyle F_{y}cdot (x-x_{0})-F_{x}cdot (y-y_{0})=0}

Coseni direttori |

Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:

ψ(t)ϕ(t)=tan⁡θ{displaystyle {frac {psi (t)}{phi (t)}}=tan theta }

che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale x. Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:

cos⁡θ=±ϕ′(t)ϕ′(t)2+ψ′(t)2sin⁡θ=±ψ′(t)ϕ′(t)2+ψ′(t)2{displaystyle cos theta =pm {frac {phi '(t)}{sqrt {phi '(t)^{2}+psi '(t)^{2}}}}qquad sin theta =pm {frac {psi '(t)}{sqrt {phi '(t)^{2}+psi '(t)^{2}}}}}

Riparametrizzazione |

Data una curva α:I→R2{displaystyle alpha :Ito mathbb {R} ^{2}} differenziabile e una funzione t=t(s){displaystyle t=t(s)} definita sull'intervallo S→I{displaystyle Sto I} allora la curva:

β=α∘t:S→R2{displaystyle beta =alpha circ t:Sto mathbb {R} ^{2}}

tale che per ogni s∈S{displaystyle sin S} si ha β(s)=α(t(s)){displaystyle beta (s)=alpha (t(s))} è una riparametrizzazione della curva α{displaystyle alpha }. La riparametrizzazione è regolare se t(S)=I{displaystyle t(S)=I} e t′(s)≠0{displaystyle t'(s)neq 0}.

Si mostra che se β=α∘t{displaystyle beta =alpha circ t} è una riparametrizzazione di α{displaystyle alpha } tramite t=t(s){displaystyle t=t(s)} allora:

β′(s)=dtdsα′(t(s)){displaystyle beta '(s)={frac {dt}{ds}}alpha '(t(s))}

Infatti, se α(t)=(ϕ(t),ψ(t)){displaystyle alpha (t)=(phi (t),psi (t))} allora β(s)=(ϕ(t(s)),ψ(t(s))){displaystyle beta (s)=(phi (t(s)),psi (t(s)))} e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:

dϕ(t(s))ds=dϕdt⋅dtdsdψ(t(s))ds=dψdt⋅dtds{displaystyle {frac {dphi (t(s))}{ds}}={frac {dphi }{dt}}cdot {frac {dt}{ds}}qquad {frac {dpsi (t(s))}{ds}}={frac {dpsi }{dt}}cdot {frac {dt}{ds}}}

e così si ha:

β′(s)=dtds(dϕdt,dψdt)=dtdsα′(t(s)){displaystyle beta '(s)={frac {dt}{ds}}left({frac {dphi }{dt}},{frac {dpsi }{dt}}right)={frac {dt}{ds}}alpha '(t(s))}

Lunghezza di una curva |

Lunghezza in forma parametrica |

Sia data α(t)=(ϕ(t),ψ(t)){displaystyle alpha (t)=(phi (t),psi (t))} differenziabile e [a,b]⊆I{displaystyle [a,b]subseteq I}. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra [α(a),α(b)]{displaystyle [alpha (a),alpha (b)]} vale:

Lungh(α)=∫ab‖α′(t)‖dt=∫abϕ′(t)2+ψ′(t)2⋅dt{displaystyle {mbox{Lungh}}(alpha )=int _{a}^{b}|alpha '(t)|dt=int _{a}^{b}{sqrt {phi '(t)^{2}+psi '(t)^{2}}}cdot dt}

Si aggiunga che, se β(s){displaystyle beta (s)} è una riparametrizzazione della curva, allora:

Lungh(α)=Lung(β)=∫ab‖α′(t)‖dt=∫ab‖β′(s)‖ds{displaystyle {mbox{Lungh}}(alpha )={mbox{Lung}}(beta )=int _{a}^{b}|alpha '(t)|dt=int _{a}^{b}|beta '(s)|ds}

Lunghezza in forma cartesiana esplicita |

Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:

y=f(x){displaystyle y=f(x)}

cioè:

F(x,y)=y−f(x)=0{displaystyle F(x,y)=y-f(x)=0}

allora, sapendo che:

∂F∂y=1{displaystyle {frac {partial F}{partial y}}=1}

e che:

∂F∂x=−df(x)dx{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}=-{frac {df(x)}{dx}}}

applicando il teorema di Pitagora ad elementi infinitesimali, ed integrando nell'intervallo di variazione dell'ascissa, la lunghezza della curva è data da:

Lungh(y)=∫ab1+(dydx)2⋅dx{displaystyle {mbox{Lungh}}(y)=int _{a}^{b}{{sqrt {1+left({frac {dy}{dx}}right)^{2}}}cdot dx}}

Parametrizzazione in coordinate polari piane |

Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:

r=r(θ)c≤θ≤d{displaystyle r=r(theta )qquad cleq theta leq d}

e in forma parametrica con parametro θ{displaystyle theta }:

{ϕ(θ)=r(θ)cos⁡θψ(θ)=r(θ)sin⁡θ{displaystyle {begin{cases}phi (theta )=r(theta )cos theta \psi (theta )=r(theta )sin theta end{cases}}}

allora sue derivate sono:

{ϕ′(θ)=r′(θ)cos⁡θ−r(θ)sin⁡θψ′(θ)=r′(θ)sin⁡θ+r(θ)cos⁡θ{displaystyle {begin{cases}phi '(theta )=r'(theta )cos theta -r(theta )sin theta \psi '(theta )=r'(theta )sin theta +r(theta )cos theta end{cases}}}

di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:

Lungh=∫cdϕ′(θ)2+ψ′(θ)2⋅dθ=∫cdr(θ)2+r′(θ)2dθ=∫cdr(θ)2+(drdθ)2⋅dθ{displaystyle {mbox{Lungh}}=int _{c}^{d}{sqrt {phi '(theta )^{2}+psi '(theta )^{2}}}cdot dtheta =int _{c}^{d}{sqrt {r(theta )^{2}+r'(theta )^{2}}}dtheta =int _{c}^{d}{sqrt {r(theta )^{2}+left({frac {dr}{dtheta }}right)^{2}}}cdot dtheta }

Ascissa curvilinea |

Lo stesso argomento in dettaglio: Lunghezza di un arco.

Si definisce ascissa curvilinea oppure parametro lunghezza arco la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione a{displaystyle a} in modo che l'integrale:

s(t)=∫at‖α′(u)‖du{displaystyle s(t)=int _{a}^{t}|alpha '(u)|du}

dipenda solo dall'estremo superiore t{displaystyle t} inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso a{displaystyle a} e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:

dato che s′(t)=‖α′(t)‖>0{displaystyle s'(t)=|alpha '(t)|>0} allora si può invertire s(t){displaystyle s(t)} e se la sua inversa è t=t(s){displaystyle t=t(s)} allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:

β(s)=α(t(s)){displaystyle beta (s)=alpha (t(s))}

Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:

‖β′(s)‖=|dtds|⋅‖α′(t)‖=1|s′(t)|‖α′(t)‖=‖α′(t)‖‖α′(t)‖=1{displaystyle |beta '(s)|=left|{frac {dt}{ds}}right|cdot |alpha '(t)|={frac {1}{|s'(t)|}}|alpha '(t)|={frac {|alpha '(t)|}{|alpha '(t)|}}=1}

Curvatura |

Lo stesso argomento in dettaglio: Curvatura.

Sia β(s){displaystyle beta (s)} una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e β′(s){displaystyle beta '(s)} il suo versore tangente. Si considera la funzione k(s):S→R{displaystyle k(s):Sto mathbb {R} } che associa ad ogni s∈S{displaystyle sin S} il valore k(s)=‖β″(s)‖{displaystyle k(s)=|beta ''(s)|}. La funzione k(s)≥0{displaystyle k(s)geq 0} è la curvatura della curva.

Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:

k=f″(x)(1+f′2)3/2{displaystyle k={frac {f''(x)}{left(1+f'^{2}right)^{3/2}}}}

mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:

k=Fy2⋅Fxx−2Fx⋅Fy⋅Fxy+Fx2⋅Fyy(Fx2+Fy2)3/2{displaystyle k={frac {F_{y}^{2}cdot F_{xx}-2F_{x}cdot F_{y}cdot F_{xy}+F_{x}^{2}cdot F_{yy}}{left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}right)^{3/2}}}}

Formule di Frenet |

Lo stesso argomento in dettaglio: geometria differenziale delle curve.

Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto triedro di Frenet, dato da una terna di vettori tangente, normale e binormale. Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre costante.

Sia β(s)=(ϕ(s),ψ(s)){displaystyle beta (s)=(phi (s),psi (s))} una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:

T(s)=β′(s)=(ϕ′(s),ψ′(s)){displaystyle T(s)=beta '(s)=(phi '(s),psi '(s))}

Il versore normale è dato da:

N(s)=i⋅T(s)=(−ψ′(s),ϕ′(s)){displaystyle N(s)=icdot T(s)=(-psi '(s),phi '(s))}

dove I{displaystyle I} è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:

N(s)=T′(s)‖T′(s)‖=T′(s)k(s)v{displaystyle N(s)={frac {T'(s)}{|T'(s)|}}={frac {T'(s)}{k(s)}}v}

Si dimostra che il vettore T′{displaystyle T'} è ortogonale a T{displaystyle T} e quindi parallelo ad N{displaystyle N}.

In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi α(t)=(ϕ(t),ψ(t)){displaystyle alpha (t)=(phi (t),psi (t))} sono:

T(t)=α′(t)‖α′(t)‖N(t)=i⋅α′(t)‖α′(t)‖k(t)=α″(t)⋅(iα′(t))‖α′(t)‖3{displaystyle T(t)={frac {alpha '(t)}{|alpha '(t)|}}qquad N(t)={frac {icdot alpha '(t)}{|alpha '(t)|}}qquad k(t)={frac {alpha ''(t)cdot (ialpha '(t))}{|alpha '(t)|^{3}}}}

Bibliografia |

• (EN) Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
  


• (EN) Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
  


• (EN) E. H. Lockwood A Book of Curves (1961, Cambridge)


• Luciano Cresci, Le curve celebri: Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti, Franco Muzzio Editore, 1998, pp. 194, ISBN 88-7021-864-3.

Voci correlate |

• Curva (matematica)


• Differenziabilità


• Derivata


• Curva nello spazio


• Geometria differenziale delle curve

Collegamenti esterni |

• (EN) Geometry Center, su geom.uiuc.edu.


• 
  .mw-parser-output .chiarimento{background:#ffeaea;color:#444444}.mw-parser-output .chiarimento-apice{color:red}
  Macchine per il tracciamento di curve piane^{[collegamento interrotto]} dal Laboratorio di Matematica di Modena del Museo di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica dell'Università di Modena e Reggio Emilia.


• (EN) Curve famose da MacTutor
  


• (FR) curve 2D, e curve 3D da Mathcurve, Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
  


• (EN)
  Mathematics Museum (Japan)^{[collegamento interrotto]} presenta varie figure, generate soprattutto mediante il sistema computazionale Mathematica.


• (EN) A Visual Dictionary of Famous Plane Curves presenta varie figure, generate soprattutto mediante il sistema computazionale Mathematica.

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