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Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n{displaystyle n} una regione piana K{displaystyle K}, sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezoidi |

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti |

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con x{displaystyle x} in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

T={(x,y,z)∈R3| a≤x≤b∧0≤y2+z2≤f(x)},{displaystyle T={(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}| aleq xleq bland 0leq {sqrt {y^{2}+z^{2}}}leq f(x)},}

dove a{displaystyle a} e b{displaystyle b} sono due valori reali con a<b{displaystyle a<b}, la funzione ρ=ρ(y,z)=y2+z2{displaystyle rho =rho (y,z)={sqrt {y^{2}+z^{2}}}} è il raggio del cilindro di asse x{displaystyle x} e la funzione f:[a,b]→R{displaystyle fcolon [a,b]to mathbb {R} } è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano xy{displaystyle xy}.

Volume e superficie |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi di Pappo-Guldino.

Il volume V{displaystyle V} del solido T{displaystyle T} si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo" dx{displaystyle dx} lungo l'asse x{displaystyle x} (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a x{displaystyle x} ha volume uguale all'area del cerchio di raggio f(x){displaystyle f(x)} moltiplicata per lo spessore dx{displaystyle dx}. Quindi sommando i vari contributi infinitesimi dx{displaystyle dx} (ovvero integrando) si ha

V=∫abπf(x)2dx.{displaystyle V=int _{a}^{b}pi f(x)^{2},dx.}

La superficie è invece data da:

A=2π∫abf(x)1+f′(x)2dx.{displaystyle A=2pi int _{a}^{b}f(x){sqrt {1+f'(x)^{2}}},dx.}

Se il solido è dato da

T={(x,y,z)∈R3| a≤x≤b∧0≤g(x)≤y2+z2≤f(x)},{displaystyle T={(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}| aleq xleq bland 0leq g(x)leq {sqrt {y^{2}+z^{2}}}leq f(x)},}

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

V=∫abπ(f(x)2−g(x)2)dx.{displaystyle V=int _{a}^{b}pi left(f(x)^{2}-g(x)^{2}right)dx.}

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse y{displaystyle y}, con a>0{displaystyle a>0}, si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse y{displaystyle y}, raggio x{displaystyle x} e altezza f(x){displaystyle f(x)}. Quindi sommando rispetto a dx{displaystyle dx} (cioè integrando), si ha:

V=2π∫abxf(x)dx.{displaystyle V=2pi int _{a}^{b}xf(x),dx.}

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

V=2π∫abx|f(x)−g(x)|dx.{displaystyle V=2pi int _{a}^{b}xvert f(x)-g(x)vert ,dx.}

Voci correlate |

• Cilindroide


• Integrale multiplo


• Teoria della misura

Altri progetti |

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Collegamenti esterni |

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• 
  Solido di rotazione, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  

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