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In analisi matematica, l'integrale è un operatore che, nel caso di una funzione di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione.

Sia f{displaystyle f} una funzione continua di una variabile a valori reali e sia a{displaystyle a} un elemento nel dominio di f,{displaystyle f,} allora dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l'integrale da a{displaystyle a} a x{displaystyle x} di f{displaystyle f} è una primitiva di f.{displaystyle f.}

Cenni storici |

L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione.

Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, e tra di essi figurano ad esempio Fermat (1636) e Nicolaus Mercator (1668).

Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Newton, Leibniz, Johann Bernoulli dimostrarono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite, e da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875 Gaston Darboux mostrò che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann.

Notazione |

Il simbolo ∫{displaystyle int } che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa (ſumma), in latino somma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.

Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è inclinato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è inclinata verso sinistra. Nei testi italiani si usa il simbolo inglese.

Introduzione euristica |

Si consideri una funzione x↦f(x){displaystyle xmapsto f(x)} reale di variabile reale limitata e definita su un intervallo I{displaystyle I} chiuso e limitato dell'asse x{displaystyle x} delle ascisse. Quando si procede a calcolare l'integrale di f{displaystyle f} su I{displaystyle I}, allora f{displaystyle f} è detta funzione integranda e l'intervallo I{displaystyle I} è detto intervallo di integrazione. La figura che ha per bordi il grafico di f{displaystyle f}, l'asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione è detta trapezoide. Il valore dell'integrale della funzione calcolato sull'intervallo di integrazione è uguale all'area (con segno) del trapezoide, cioè il numero reale che esprime tale area orientata viene chiamato integrale (definito) della funzione esteso all'intervallo di integrazione. Con il termine "integrale" o "operatore integrale" si indica anche l'operazione stessa che associa il valore dell'area orientata alla funzione.

Sono stati ideati diversi modi per definire in modo rigoroso l'integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l'insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale. Un metodo è quello di "approssimare" il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l'area: la somma algebrica delle aree di tutti i trapezi è allora l'integrale cercato. Un tale approccio è utilizzato per definire l'integrale di Riemann, in cui il calcolo dell'area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali ottenendo così dei rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione [a,b]{displaystyle [a,b]} in n{displaystyle n} intervalli del tipo [xk−1,xk]{displaystyle [x_{k-1},x_{k}]}, per k=1,2,…,n{displaystyle k=1,2,dots ,n}, e con x0=a{displaystyle x_{0}=a} e xn=b{displaystyle x_{n}=b}, per ciascun intervallo si può considerare un punto tk{displaystyle t_{k}} la cui immagine è f(tk){displaystyle f(t_{k})}. Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l'intervallo [xk−1,xk]{displaystyle [x_{k-1},x_{k}]} e per altezza f(tk){displaystyle f(t_{k})}. La figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è detta plurirettangolo e l'area del plurirettangolo è detta somma di Cauchy-Riemann o somma integrale di Riemann:

∑k=1nf(tk)δxk:=∑k=1nf(tk)(xk−xk−1).{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(t_{k}),delta x_{k}:=sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).}

Se al diminuire dell'ampiezza degli intervalli δxk{displaystyle delta x_{k}} i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero S{displaystyle S}, la funzione f{displaystyle f} è integrabile sull'intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} e S{displaystyle S} è il valore del suo integrale.

Definizione |

La prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale di una funzione su un intervallo è l'integrale di Riemann, formulato da Bernhard Riemann.

L'integrale di Lebesgue è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, e per mostrarne la relazione è necessario utilizzare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano f{displaystyle f} e g{displaystyle g} due funzioni continue a supporto compatto su R1{displaystyle mathbb {R} ^{1}}. Si può definire la loro distanza nel seguente modo:^[1]

d⁡(f,g)=∫−∞+∞|f(t)−g(t)| dt.{displaystyle operatorname {d} (f,g)=int _{-infty }^{+infty }|f(t)-g(t)| mathrm {d} t.}

Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno spazio metrico. Il completamento di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.^[2][3]

In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.

Integrale di Riemann |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Riemann.

Sia PC[a,b]{displaystyle PC[a,b]} l'insieme delle funzioni limitate e continue a tratti sull'intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]}, e tali da essere continue da destra:

limx→y+f(x)=f(y).{displaystyle lim _{xto y^{+}}f(x)=f(y).}

La norma di tali funzioni può essere definita come:

‖f‖∞=supx∈[a,b]|f(x)|.{displaystyle |f|_{infty }=sup _{xin [a,b]}|f(x)|.}

Sia (a,x1,…,xn−1,b){displaystyle (a,x_{1},dots ,x_{n-1},b)} una partizione di [a,b]{displaystyle [a,b]} e χi(x){displaystyle chi _{i}(x)} la funzione indicatrice dell'i-esimo intervallo della partizione [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}.

L'insieme S[a,b]{displaystyle S[a,b]} delle possibili partizioni dell'intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} costituisce uno spazio vettoriale normato, con norma data da:

‖∑i=1nciχi(x)‖∞=supx∈[a,b]|∑i=1nciχi(x)|=maxi=1,…,n|ci|ci∈R.{displaystyle |sum _{i=1}^{n}c_{i}chi _{i}(x)|_{infty }=sup _{xin [a,b]}|sum _{i=1}^{n}c_{i}chi _{i}(x)|=max _{i=1,dots ,n}|c_{i}|qquad c_{i}in mathbb {R} .}

L'insieme S[a,b]{displaystyle S[a,b]} è denso in PC[a,b]{displaystyle PC[a,b]}. Si definisce la trasformazione lineare limitata I:S[a,b]→R{displaystyle I:S[a,b]to mathbb {R} } nel seguente modo:^[4]

I[∑i=1nciχi(x)]=∑i=1nci(xi−xi−1).{displaystyle Ileft[sum _{i=1}^{n}c_{i}chi _{i}(x)right]=sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}

Si dimostra che un operatore lineare limitato che mappa uno spazio vettoriale normato in uno spazio normato completo può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore I {displaystyle I } può quindi essere esteso a un operatore I^{displaystyle {hat {I}}} che mappa il completamento S^[a,b]{displaystyle {hat {S}}[a,b]} di S[a,b] {displaystyle S[a,b] } in R{displaystyle mathbb {R} }.

Si definisce integrale di Riemann l'operatore I^:S^[a,b]→R{displaystyle {hat {I}}:{hat {S}}[a,b]to mathbb {R} }, e si indica con:^[5]

I^(f):=∫abf(x) dx.{displaystyle {hat {I}}(f):=int _{a}^{b}f(x) mathrm {d} x.}

Integrale di Lebesgue |

Lo stesso argomento in dettaglio: integrale di Lebesgue.

Sia μ{displaystyle mu } una misura su una sigma-algebra X{displaystyle X} di sottoinsiemi di un insieme E{displaystyle E}. Ad esempio, E{displaystyle E} può essere un n-spazio euclideo Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, X{displaystyle X} la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di E{displaystyle E} e μ{displaystyle mu } la misura di Lebesgue.

Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione f{displaystyle f} è misurabile se la controimmagine di ogni insieme aperto I{displaystyle I} del codominio è in X{displaystyle X}, ossia se f−1(I){displaystyle f^{-1}(I)} è un insieme misurabile di X{displaystyle X} per ogni aperto I{displaystyle I}.^[6] L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.

Una funzione semplice s{displaystyle s} è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.^[7] Siano i numeri reali o complessi a1,…an{displaystyle a_{1},dots a_{n}} i valori assunti dalla funzione semplice s{displaystyle s} e sia:

Ai={x:s(x)=ai}.{displaystyle A_{i}={x:s(x)=a_{i}}.}

Allora:^[7]

s(x)=∑i=1naiχAi(x),{displaystyle s(x)=sum _{i=1}^{n}a_{i}chi _{A_{i}}(x),}

dove χAk(x){displaystyle chi _{A_{k}}(x)} è la funzione indicatrice relativa all'insieme Ai{displaystyle A_{i}} per ogni i.{displaystyle i.}

L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:

∫Fsdμ=∑i=1naiμ(Ai∩F)F∈X.{displaystyle int _{F}s,mathrm {d} mu =sum _{i=1}^{n}a_{i}mu (A_{i}cap F)quad Fin X.}

Sia f{displaystyle f} una funzione misurabile non negativa su E{displaystyle E} a valori sulla retta reale estesa. L'integrale di Lebesgue di f{displaystyle f} sull'insieme F{displaystyle F} rispetto alla misura μ{displaystyle mu } è definito nel seguente modo:^[8]

∫Ffdμ:=sup∫Fsdμ,{displaystyle int _{F}f,mathrm {d} mu :=sup int _{F}s,mathrm {d} mu ,}

dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici s{displaystyle s} tali che 0≤s≤f{displaystyle 0leq sleq f}. Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo [0,∞]{displaystyle [0,infty ]}.

L'insieme delle funzioni tali che:

∫E|f|dμ<∞{displaystyle int _{E}|f|,mathrm {d} mu <infty }

è detto insieme delle funzioni integrabili su E{displaystyle E} secondo Lebesgue rispetto alla misura μ{displaystyle mu }, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con L1(μ){displaystyle L^{1}(mu )}.

Anche l'integrale di Lebesgue è un funzionale lineare, e considerando una funzione definita su un intervallo I{displaystyle I} il teorema di Riesz permette di affermare che per ogni funzionale lineare λ{displaystyle lambda } su C{displaystyle mathbb {C} } è associata una misura di Borel finita μ{displaystyle mu } su I{displaystyle I} tale che:^[9]

λf=∫Ifdμ{displaystyle lambda f=int _{I}f,mathrm {d} mu }

In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.

Integrale in più variabili |

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo.

Sia x=(x1,…,xk){displaystyle x=(x_{1},dots ,x_{k})} un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:

Ik={x:ai≤xi≤bi1≤i≤k}{displaystyle I^{k}={x:quad a_{i}leq x_{i}leq b_{i}quad 1leq ileq k}}

è detto k{displaystyle k}-cella. Sia fk{displaystyle f_{k}} definita su Ik{displaystyle I^{k}} una funzione continua a valori reali, e si definisca:

fk−1(x1,…,xk−1)=∫akbkfk(x1,…,xk)dxk.{displaystyle f_{k-1}(x_{1},dots ,x_{k-1})=int _{a_{k}}^{b_{k}}f_{k}(x_{1},dots ,x_{k})dx_{k}.}

Tale funzione è definita su Ik−1{displaystyle I^{k-1}} ed è a sua volta continua a causa della continuità di fk{displaystyle f_{k}}. Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni fj{displaystyle f_{j}} continue su Ij{displaystyle I^{j}} che sono il risultato dell'integrale di fj+1{displaystyle f_{j+1}} rispetto alla variabile xj+1{displaystyle x_{j+1}} sull'intervallo [aj+1,bj+1]{displaystyle [a_{j+1},b_{j+1}]}. Dopo k volte si ottiene il numero:

f0=∫a1b1f1(x1)dx1.{displaystyle f_{0}=int _{a_{1}}^{b_{1}}f_{1}(x_{1})dx_{1}.}

Si tratta dell'integrale di fk(x){displaystyle f_{k}(x)} su Ik{displaystyle I^{k}} rispetto a x{displaystyle x}, e non dipende dall'ordine con il quale vengono eseguite le k integrazioni.

In particolare, sia g(x)=f1(x1)…fk(xk){displaystyle g(x)=f_{1}(x_{1})dots f_{k}(x_{k})}. Allora si ha:

∫Ikg(x)dx=∏i=1k∫aibifi(xi)dxi.{displaystyle int _{I^{k}}g(x)dx=prod _{i=1}^{k}int _{a_{i}}^{b_{i}}f_{i}(x_{i})dx_{i}.}

Inoltre, sia f{displaystyle f} una funzione a supporto compatto e si ponga che Ik{displaystyle I^{k}} contenga il supporto di f{displaystyle f}. Allora è possibile scrivere:

∫Ikf=∫Rkf.{displaystyle int _{I^{k}}f=int _{mathbb {R} ^{k}}f.}

Nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione ad insiemi di funzioni più ampi.

Una proprietà di notevole importanza dell'integrale di una funzione in più variabili è la seguente. Siano:

• 
  T:E⊂Rk→Rk{displaystyle T:Esubset mathbb {R} ^{k}to mathbb {R} ^{k}} una funzione iniettiva di classe C1{displaystyle C^{1}} definita su un aperto E{displaystyle E} e tale che la sua matrice jacobiana JT(x){displaystyle J_{T}(x)} sia diversa da 0 ovunque in E{displaystyle E}.


• 
  f{displaystyle f} una funzione a supporto compatto continua definita su Rk{displaystyle mathbb {R} ^{k}} e tale che T(E){displaystyle T(E)} contenga il supporto di f{displaystyle f}.

Allora si ha:

∫Rkf(y)dy=∫Rkf(T(x))|JT(x)|dx.{displaystyle int _{mathbb {R} ^{k}}f(y)dy=int _{mathbb {R} ^{k}}f(T(x))|J_{T}(x)|dx.}

L'integrando f(T(x))|JT(x)|{displaystyle f(T(x))|J_{T}(x)|} ha un supporto compatto grazie all'invertibilità di T{displaystyle T}, dovuta all'ipotesi JT(x)≠0{displaystyle J_{T}(x)neq 0} per ogni x∈E{displaystyle xin E} che garantisce la continuità di T−1{displaystyle T^{-1}} in T(E){displaystyle T(E)} per il teorema della funzione inversa.

Integrale curvilineo |

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea e Integrale di superficie.

Dato un campo scalare f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }, si definisce l'integrale di linea (di prima specie) su una curva C{displaystyle C}, parametrizzata da r(t){displaystyle mathbf {r} (t)}, con t∈[a,b]{displaystyle tin [a,b]}, come:^[10]

∫Cf ds=∫abf(r(t))‖r′(t)‖dt,{displaystyle int _{C}f operatorname {d} !s=int _{a}^{b}f(mathbf {r} (t))|mathbf {r} '(t)|,mathrm {d} t,}

dove il termine ds{displaystyle mathrm {d} s} indica che l'integrale è effettuato su un'ascissa curvilinea. Se il dominio della funzione f{displaystyle f} è R{displaystyle mathbb {R} }, l'integrale curvilineo si riduce al comune integrale di Riemann valutato nell'intervallo [r(a),r(b)]{displaystyle [r(a),r(b)]}. Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli integrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della curva di Lorenz.

Similmente, per un campo vettoriale F:Rn→Rn{displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}, l'integrale di linea (di seconda specie) lungo una curva C{displaystyle C}, parametrizzata da r(t){displaystyle mathbf {r} (t)} con t∈[a,b]{displaystyle tin [a,b]}, è definito da:^[11]

∫CF=∫CF(x)⋅dx=∫abF(r(t))⋅r′(t)dt.{displaystyle int _{C}mathbf {F} =int _{C}mathbf {F} (mathbf {x} )cdot ,mathrm {d} mathbf {x} =int _{a}^{b}mathbf {F} (mathbf {r} (t))cdot mathbf {r} '(t),mathrm {d} t.}

Continuità e integrabilità |

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione integrabile.

Una condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità è che una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato sia continua: una funzione continua definita su un compatto, e quindi continua uniformemente per il teorema di Heine-Cantor, è integrabile.

Dimostrazione

Si suddivida l'intervallo  [a,b]{displaystyle [a,b]} in n{displaystyle n} sottointervalli  [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} di uguale ampiezza: δx=(b−a)n.{displaystyle delta x={{(b-a)} over {n}}.} Si scelga in ogni intervallo un punto  ti{displaystyle t_{i}} interno a  [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} e si definisce la somma integrale:  σn=∑s=1nf(ts)δxs=b−an∑s=1nf(ts){displaystyle sigma _{n}=sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),delta x_{s}={{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}f(t_{s})} Ponendo  Mi{displaystyle M_{i}} e  mi{displaystyle m_{i}} il massimo e il minimo di  f{displaystyle f} in ogni intervallo  [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} si costruiscono quindi le somme:  Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1) sn=∑i=1nmi(xi−xi−1).{displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})qquad s_{n}=sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).} All'aumentare di n{displaystyle n},  Sn{displaystyle S_{n}} diminuisce mentre  sn{displaystyle s_{n}} cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:  mi≤f(ti)≤Mi.{displaystyle m_{i}leq f(t_{i})leq M_{i}.} Si ha che:  sn≤σn≤Sn.{displaystyle s_{n}leq sigma _{n}leq S_{n}.} Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta  sn→s{displaystyle s_{n}to s} e  Sn→S{displaystyle S_{n}to S}, con  s≤S{displaystyle sleq S}. All'affinarsi della partizione di  [a,b]{displaystyle [a,b]} risulta  s=S{displaystyle s=S}, infatti è possibile fissare un  ε{displaystyle varepsilon } piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:  Sn−sn=∑i=1n(Mi−mi)(xi−xi−1)<ε{displaystyle S_{n}-s_{n}=sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<varepsilon } poiché per la continuità uniforme di f{displaystyle f} si ha:  Mi−mi<ε(b−a).{displaystyle M_{i}-m_{i}<{{varepsilon } over {(b-a)}}.} Cioè, per un numero di n{displaystyle n} suddivisioni abbastanza elevato:  Sn−sn=∑i=1n(Mi−mi)(xi−xi−1)<ε(b−a)∑i=1n(xi−xi−1)=ε.{displaystyle S_{n}-s_{n}=sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<{{varepsilon } over {(b-a)}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=varepsilon .} Per il teorema del confronto delle successioni si ha:  limn→+∞(Sn−sn)≤ε{displaystyle lim _{nto +infty }(S_{n}-s_{n})leq varepsilon } ovvero:  S−s≤ε,{displaystyle S-sleq varepsilon ,} da cui, data l'arbitrarietà del fattore ε{displaystyle varepsilon }, risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:  S=s=I{displaystyle S=s=I} In definitiva, essendo:  sn≤σn≤Sn,{displaystyle s_{n}leq sigma _{n}leq S_{n},} per il teorema del confronto risulta σn→I{displaystyle sigma _{n}to I}, da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto  [a,b]{displaystyle [a,b]} allora l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli  [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}, ovvero la funzione è integrabile.

Assoluta integrabilità |

Una funzione f{displaystyle f} si dice assolutamente integrabile su un intervallo aperto del tipo [a,+∞){displaystyle [a,+infty )} se su tale intervallo è integrabile |f|{displaystyle left|fright|}. Non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è sin⁡x/x{displaystyle sin x/x}. Viceversa, il teorema sull'esistenza degli integrali impropri all'infinito garantisce che una funzione f{displaystyle f} assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo [a,+∞){displaystyle [a,+infty )}.

Dimostrazione

Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché ∫a+∞f(x)dx{displaystyle int _{a}^{+infty }!f(x),mathrm {d} x} esista finito è che per ogni ε>0{displaystyle varepsilon >0} esista γ>0{displaystyle gamma >0} tale che per ogni x1,x2<γ{displaystyle x_{1},x_{2}<gamma } si abbia: |∫x1x2f(x)dx|<ε.{displaystyle left|int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x),mathrm {d} xright|<varepsilon .} Sostituendo in quest'ultima espressione f(x){displaystyle f(x)} con |f(x)|{displaystyle |f(x)|} la condizione di esistenza diventa: |∫x1x2|f(x)dx||<ε,{displaystyle left|int _{x_{1}}^{x_{2}}left|f(x),mathrm {d} xright|right|<varepsilon ,} da cui si ha: |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx{displaystyle left|int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} xright|leq int _{a}^{b}left|f(x)right|,mathrm {d} x} e quindi si può scrivere: ∫x1x2|f(x)dx|<ε.{displaystyle int _{x_{1}}^{x_{2}}left|f(x),mathrm {d} xright|<varepsilon .} Si ricava così che f(x){displaystyle f(x)} è integrabile.

Teorema di Vitali-Lebesgue |

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} che siano integrabili secondo Riemann. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue.

Data una funzione su Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoi punti di discontinuità. Se si verifica questo, la funzione è anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Nel caso in cui n=1{displaystyle n=1} l'enuciato assume la seguente forma: una funzione f{displaystyle f} limitata in un intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue.^[12]

Calcolo differenziale e calcolo integrale |

Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, grazie agli studi e alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale. Esso è generalizzato dal fondamentale teorema di Stokes.

Funzione integrale |

Sia f:I→R{displaystyle f:Ito mathbb {R} } una funzione definita su un intervallo I=[a,b]{displaystyle I=[a,b]}. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato J{displaystyle J} contenuto in I{displaystyle I}, al variare dell'intervallo J{displaystyle J} varia il valore dell'integrale. Si ponga J=[x0,x]{displaystyle J=[x_{0},x]}, dove x0{displaystyle x_{0}} è fissato e l'altro estremo x{displaystyle x} è variabile: l'integrale di f{displaystyle f} su J{displaystyle J} diventa allora una funzione di x{displaystyle x}. Tale funzione si dice funzione integrale di f{displaystyle f} o integrale di Torricelli, e si indica con:

F(x)=∫x0xf(t)dt.{displaystyle F(x)=int _{x_{0}}^{x}!f(t),mathrm {d} t.}

La variabile di integrazione t{displaystyle t} è detta variabile muta, e varia tra x0{displaystyle x_{0}} e x{displaystyle x}.

Funzioni primitive |

Lo stesso argomento in dettaglio: Primitiva (matematica).

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui F{displaystyle F} sia una primitiva di f{displaystyle f} (cioè se F′(x)=f(x){displaystyle F'(x)=f(x)}) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

G(x)=F(x)+c,{displaystyle G(x)=F(x)+c,}

che differisca da F(x){displaystyle F(x)} per una costante arbitraria c{displaystyle c}, risulta essere primitiva di f(x){displaystyle f(x)}. Infatti:

G′(x)=F′(x)+0=f(x).{displaystyle G'(x)=F'(x)+0=f(x).}

Quindi, se una funzione f(x){displaystyle f(x)} ammette primitiva F(x){displaystyle F(x)} allora esiste un'intera classe di primitive del tipo:

G(x)=F(x)+c.{displaystyle G(x)=F(x)+c.}

Viceversa, tutte le primitive di f(x){displaystyle f(x)} sono della forma F(x)+c{displaystyle F(x)+c}.

Teorema fondamentale del calcolo integrale |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale del calcolo integrale.

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

F(x)=∫axf(t)dt,a≤x≤b,{displaystyle F(x)=int _{a}^{x}f(t)dt,qquad aleq xleq b,}

è una primitiva della funzione di partenza. Cioè

F′(x)=f(x),{displaystyle F^{prime }(x)=f(x),}

La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

∫abf(x)dx=F(b)−F(a),{displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),}

e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Integrale indefinito |

La totalità delle primitive di una funzione f(x){displaystyle f(x)} si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

∫f(x)dx,{displaystyle int !f(x),mathrm {d} x,}

denota l'integrale indefinito della funzione f(x){displaystyle f(x)} rispetto a x{displaystyle x}. La funzione f(x){displaystyle f(x)} è detta anche in questo caso funzione integranda. In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l’insieme delle primitive che o è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se f{displaystyle f} è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva  F{displaystyle F} allora l'integrale indefinito di f{displaystyle f} è:

 ∫f(x)dx=F(x)+c,{displaystyle int !f(x),mathrm {d} x=F(x)+c,}

dove c{displaystyle c} è una generica costante reale.

Proprietà degli integrali |

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Linearità |

Siano f{displaystyle f} e g{displaystyle g} due funzioni continue definite in un intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} e siano α,β∈R{displaystyle alpha ,beta in mathbb {R} }. Allora:

∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx{displaystyle int _{a}^{b}[alpha f(x)+beta g(x)],mathrm {d} x=alpha int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x+beta int _{a}^{b}!g(x),mathrm {d} x}

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:  ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=limn→+∞b−an∑s=1n[αf(ts)+βg(ts)]{displaystyle int _{a}^{b}[alpha f(x)+beta g(x)],mathrm {d} x=lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n},[alpha f(t_{s})+beta g(t_{s})]} da cui:  ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=limn→+∞b−an[α∑s=1nf(ts)+β∑s=1ng(ts)]{displaystyle int _{a}^{b}[alpha f(x)+beta g(x)],mathrm {d} x=lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}[alpha sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+beta sum _{s=1}^{n}g(t_{s})]} Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:  ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=αlimn→+∞b−an∑s=1nf(ts)+βlimn→+∞b−an∑s=1ng(ts){displaystyle int _{a}^{b}[alpha f(x)+beta g(x)],mathrm {d} x=alpha lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+beta lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}g(t_{s})} da cui discende la proprietà di linearità.

Additività |

Sia f{displaystyle f} continua e definita in un intervallo [a,c]{displaystyle [a,c]} e sia b∈[a,c]{displaystyle bin [a,c]}. Allora:

∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx{displaystyle int _{a}^{c}!f(x),mathrm {d} x=int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x+int _{b}^{c}!f(x),mathrm {d} x}

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:  ∫abf(x)dx=limn→+∞b−an∑s=1nf(ts){displaystyle int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x=lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}f(t_{s})} da cui se si ha  c∈[a,b]{displaystyle cin [a,b]} esistono un valore  h{displaystyle h} e un valore  k{displaystyle k} la cui somma è  n{displaystyle n} tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:  b−ch=c−ak=δx{displaystyle {frac {b-c}{h}}={frac {c-a}{k}}=delta x}  ∫abf(x)dx=limn→+∞b−an(∑s=1n−kf(ts)+∑s=h+1nf(ts)){displaystyle int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x=lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}left(sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})right)} Distribuendo la misura dell'intervallo:  ∫abf(x)dx=limn→+∞b−an∑s=1n−kf(ts)+limn→+∞b−an∑s=h+1nf(ts){displaystyle int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x=lim _{nto +infty }{frac {b-a}{n}}sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})} in cui  n−k=h{displaystyle n-k=h}. Considerando l'intervallo  [c,b]{displaystyle [c,b]}, l'indice  s=h+1,...,n{displaystyle s=h+1,...,n} può essere riscritto come  s=1,...,k{displaystyle s=1,...,k} in quanto  th+1{displaystyle t_{h+1}} è il valore superiore del primo intervallo della partizione di  [c,b]{displaystyle [c,b]}. Ricordando che:  b−ch=c−ak=δx{displaystyle {{b-c} over {h}}={{c-a} over {k}}=delta x} risulta allora:  ∫abf(x)dx=limh→+∞c−ah∑s=1hf(ts)+limk→+∞b−ck∑s=1kf(t(s)){displaystyle int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x=lim _{hto +infty }{{c-a} over {h}}sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+lim _{kto +infty }{{b-c} over {k}}sum _{s=1}^{k}fleft(t(s)right)} da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia (o teorema del confronto) |

Siano f{displaystyle f} e g{displaystyle g} due funzioni continue definite in un intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} e tali che f(x)≤g(x){displaystyle f(x)leq g(x)} in [a,b]{displaystyle [a,b]}. Allora:

∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx{displaystyle int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} xleq int _{a}^{b}!g(x),mathrm {d} x}

Dimostrazione

Infatti, se si verifica che f(x)≤g(x){displaystyle f(x)leq g(x)} nel compatto  [a,b]{displaystyle [a,b]}, effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore b−a/n{displaystyle b-a/n} si ottiene: b−anf(ts)≤b−ang(ts) {displaystyle {{b-a} over {n}}f(t_{s})leq {{b-a} over {n}}g(t_{s}) } per ogni ts{displaystyle t_{s}}. A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente: ∑s=1nb−anf(ts)≤∑s=1nb−ang(ts){displaystyle sum _{s=1}^{n}{{b-a} over {n}}f(t_{s})leq sum _{s=1}^{n}{{b-a} over {n}}g(t_{s})} Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata: limn→+∞∑s=1nb−anf(ts)≤limn→+∞∑s=1nb−ang(ts){displaystyle lim _{nto +infty }sum _{s=1}^{n}{{b-a} over {n}}f(t_{s})leq lim _{nto +infty }sum _{s=1}^{n}{{b-a} over {n}}g(t_{s})} Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto |

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se f{displaystyle f} è integrabile in un intervallo [a,b]{displaystyle [a,b]} si ha:

|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx{displaystyle left|int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} xright|leq int _{a}^{b}left|f(x)right|,mathrm {d} x}

Dimostrazione

Infatti, essendo valida la relazione −|f(ts)|≤f(ts)≤|f(ts)|{displaystyle -|f(t_{s})|leq f(t_{s})leq |f(t_{s})|} per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo: −∑s=1n|f(ts)|≤∑s=1nf(ts)≤∑s=1n|f(ts)|{displaystyle -sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|leq sum _{s=1}^{n}f(t_{s})leq sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|} Moltiplicando ogni membro per il fattore b−a/n{displaystyle b-a/n} e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali: −limn→+∞b−an∑s=1n|f(ts)|≤limn→+∞b−an∑s=1nf(ts)≤limn→+∞b−an∑s=1n|f(ts)|{displaystyle -lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|leq lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}f(t_{s})leq lim _{nto +infty }{{b-a} over {n}}sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|} −∫ab|f(x)|dx≤∫abf(x)dx≤∫ab|f(x)|dx{displaystyle -int _{a}^{b}|f(x)|,mathrm {d} xleq int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} xleq int _{a}^{b}|f(x)|,mathrm {d} x} ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come: |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx{displaystyle left|int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} xright|leq int _{a}^{b}left|f(x)right|,mathrm {d} x} la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se f:[a,b]→R{displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} } è continua allora esiste c∈(a,b){displaystyle cin (a,b)} tale che:

1b−a∫abf(x)dx=f(c){displaystyle {{1} over {b-a}}int _{a}^{b}!f(x),mathrm {d} x=f(c)}

Integrale improprio |

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale improprio.

Un integrale improprio è un limite della forma:

limb→∞∫abf(x)dxlima→−∞∫abf(x)dx{displaystyle lim _{bto infty }int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} xqquad lim _{ato -infty }int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} x}

oppure:

limc→b−∫acf(x)dxlimc→a+∫cbf(x)dx{displaystyle lim _{cto b^{-}}int _{a}^{c}f(x),mathrm {d} xquad lim _{cto a^{+}}int _{c}^{b}f(x),mathrm {d} x}

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Metodi di integrazione |

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di integrazione.

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota Φ{displaystyle Phi }. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la semplificazione della funzione integranda vi sono le seguenti due:

• Se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di due integrali, di cui uno calcolabile immediatamente grazie alla formula fondamentale del calcolo integrale.


• Se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di proporzionalità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale |

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia f:R→R+{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}} una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni a∈N{displaystyle ain mathbb {N} } e ogni intero n≥a{displaystyle ngeq a} si ha:

f(a)+∫anf(x)dx≤∑k=anf(k)≤∫anf(x)dx+f(n){displaystyle f(a)+int _{a}^{n}!f(x),mathrm {d} xleq sum _{k=a}^{n}!f(k)leq int _{a}^{n}f(x),mathrm {d} x+f(n)}

Infatti, se n=a{displaystyle n=a} la proprietà è banale, mentre se n>a{displaystyle n,>,a} si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}}, e che per ogni k∈N{displaystyle kin mathbb {N} } vale la relazione:

f(k)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k+1){displaystyle f(k)leq int _{k}^{k+1}f(x),mathrm {d} xleq f(k+1)}

Sommando per k=a,a+1,...n−1{displaystyle k=a,a+1,...n-1} si ottiene dalla prima disuguaglianza:

∑k=an−1f(k)≤∑k=an−1∫kk+1f(x)dx=∫anf(x)dx{displaystyle sum _{k=a}^{n-1}f(k)leq sum _{k=a}^{n-1}int _{k}^{k+1}f(x),mathrm {d} x=int _{a}^{n}f(x),mathrm {d} x}

mentre dalla seconda segue che:

∫anf(x)dx=∑k=an−1∫kk+1f(x)dx≤∑k=an−1f(k+1){displaystyle int _{a}^{n}f(x),mathrm {d} x=sum _{k=a}^{n-1}int _{k}^{k+1}f(x),mathrm {d} xleq sum _{k=a}^{n-1}f(k+1)}

Aggiungendo ora f(a){displaystyle f(a)} e f(n){displaystyle f(n)} alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Altri operatori di integrazione |

Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes, che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri |

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Denjoy, Integrale di Perron e Integrale di Henstock-Kurzweil.

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a Denjoy, Perron, Henstock e altri. I tre nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l'integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock e (indipendentemente) Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge: essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Ito |

Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Itō.

L'integrale di Itō fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici. In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

∫0TXsdWs{displaystyle int _{0}^{T}X_{s},mathrm {d} W_{s}}

dove Ws{displaystyle W_{s}} è il processo di Wiener. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha variazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti integrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale |

• In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione. Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza f(x)=mx{displaystyle f(x)=mx} attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:

∫mxαdx=mxα+1α+1+c{displaystyle int mx^{alpha },mathrm {d} x={{mx^{alpha +1}} over {alpha +1}}+c}

la cui derivata coincide proprio con  mxα{displaystyle mx^{alpha }}. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione  f(x)=mx{displaystyle f(x)=mx} e integrandola si ottiene:

∫mxdx=mx22+c{displaystyle int mx,mathrm {d} x={{mx^{2}} over {2}}+c}

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto  [a,b]{displaystyle [a,b]} si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

∫abmxdx=[mb22+c]−[ma22+c]=mb2−a22{displaystyle int _{a}^{b}mx,mathrm {d} x=left[{{mb^{2}} over {2}}+cright]-left[{{ma^{2}} over {2}}+cright]=m{{b^{2}-a^{2}} over {2}}}

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

• Si supponga di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è f(x)=mx{displaystyle f(x)=mx}. :Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto [a,b]{displaystyle [a,b]} situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti a{displaystyle a} e b{displaystyle b} si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto [a,b]{displaystyle [a,b]} è uguale all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza uguale a b−a{displaystyle b-a}, base maggiore mb{displaystyle mb} e base minore  ma{displaystyle ma}. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula 12(mb+ma)(b−a){displaystyle {{1} over {2}}(mb+ma)(b-a)}, ovvero mb2−a22{displaystyle m{{b^{2}-a^{2}} over {2}}}.

Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto  [a,b]{displaystyle [a,b]} si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in n{displaystyle n} parti uguali:

 x0=a;x1=a+b−an;x2=a+2b−an;…;xn=a+nb−an=b{displaystyle x_{0}=a;quad x_{1}=a+{{b-a} over {n}};quad x_{2}=a+2{{b-a} over {n}};quad dots ,;quad x_{n}=a+n{{b-a} over {n}}=b}

Nel generico intervallo [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno xi{displaystyle x_{i}} (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione  y=mx{displaystyle y=mx} nel generico punto xi{displaystyle x_{i}} interno all'intervallo [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}. Si avrà quindi f(xi)=m[a+ib−an]{displaystyle f(x_{i})=mleft[a+i{{b-a} over {n}}right]}, e la somma integrale di Riemann diventa:

 σn=∑i=1nf(xi)b−an=∑i=1nm[a+ib−an]b−an=ma(b−a)+m(b−an)2∑i=1ni{displaystyle sigma _{n}=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}){{b-a} over {n}}=sum _{i=1}^{n}mleft[a+i{{b-a} over {n}}right]{{b-a} over {n}}=ma(b-a)+mleft({{b-a} over {n}}right)^{2}sum _{i=1}^{n}i}

nella quale la progressione aritmetica ∑i=1ni=n(n+1)2{displaystyle sum _{i=1}^{n}i={{n(n+1)} over {2}}} restituisce un'espressione delle somme di Riemann uguale a:

σn=ma(b−a)+m(b−a)2n+12n{displaystyle sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}{{n+1} over {2n}}}

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

∫abmxdx=limn→+∞σn=ma(b−a)+m(b−a)2limn→+∞n+12n{displaystyle int _{a}^{b}mx,mathrm {d} x=lim _{nto +infty }sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}lim _{nto +infty }{{n+1} over {2n}}}

Calcolando il limite per  n→∞{displaystyle nto infty }, dato che  n+12n→ 12{displaystyle {{n+1} over {2n}}to {{1} over {2}}}, si ottiene:

∫abmxdx=limn→+∞σn=ma(b−a)+m(b−a)22{displaystyle int _{a}^{b}mx,mathrm {d} x=lim _{nto +infty }sigma _{n}=ma(b-a)+{{m(b-a)^{2}} over {2}}}

dalla quale, eseguendo la somma si ricava:

∫abmxdx=mb2−a22{displaystyle int _{a}^{b}mx,mathrm {d} x=m{{b^{2}-a^{2}} over {2}}}

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta  y=mx{displaystyle y=mx} sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Note |

Bibliografia |

• 
  Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 88-207-2819-2.


• 
  Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, 1996, ISBN 88-207-2675-0.


• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.


• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.


• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate |

• Derivata


• Funzione integrabile


• Integrabilità uniforme


• Integrale di Riemann


• Integrale di Lebesgue


• Integrale sui cammini


• Integrale multiplo


• Integrale di linea


• Integrale di linea di prima specie


• Integrale di linea di seconda specie


• Integrale di superficie


• Integrale di volume


• Integrale funzionale


• Integrale improprio


• Metodi di integrazione


• Passaggio al limite sotto segno di integrale


• Primitiva (matematica)


• Teorema di Stokes


• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Tavole di integrali |

• Tavola degli integrali più comuni


• Tavola degli integrali definiti

Integrali indefiniti |

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni irrazionali


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni iperboliche


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'area

Altri progetti |

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  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «integrale»


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  Wikiversità contiene lezioni sugli integrale
  


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Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Integrale, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)


• Interactive Multipurpose Server, su wims.unice.fr.


• Marshall Evans Munroe, Misura e integrazione, da Enciclopedia del Novecento, su treccani.it (archiviato dall'url originale il 15 dicembre 2012).


• [1]

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V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
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Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
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